第五讲数理统计

28第五讲数理统计考试要求1.理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念.其中样本方差定义为.)(11212XXnSini2.了解2分布、t分布和F分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算.3.了解正态总体的常用抽样分布.4.理解经验分布函数的概念和性质,会根据样本值求经验分布函数.5.理解参数的点估计、估计量与估计值的概念.6.掌握矩估计法(一阶、二阶矩)和最大似然的估计法.7.了解估计量的无偏性、有效性(最小方差性)和一致性(相合性)的概念，并会验证估计量的无偏性.8.理解区间估计的概念，会求单个正态总体的均值和方差的置信区间，会求两个正态总体的均值差和方差比的置信区间.9.理解显著性检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误.10.了解单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验一、样本与抽样分布1.总体、个体与简单随机样本:2.常用统计量:1°样本均值iniXnX112°样本方差212)(11XXnSini3°样本标准差:211()1niiSXXn4°样本k阶原点矩11,1,2,nkkiiAXkn295°样本k阶中心矩11(),1,2,nkkiiBXXkn3分位数4.重要抽样分布（1）分布2(2)t分布(3)F分布5正态总体的常用抽样分布:22,,,(,),nXXXN1设为来自正态总体的样本11niiXXn,2211()1niiSXXn,则(1)2~,~(0,1)./XXNNnn或(2)222221(1)1()~(1).niinSXXn(3)22211()~().niiXn(4)~(1).XntnS　(5)X与2S相互独立,且)(XE,22)(SE,nXD2)(.【例1】设总体2~(,),XN设12,,,nXXX是来自总体X的一个样本,且22111,()nniniiiXXSXXn，求21()nEXS.【例2】设总体2~(,),XN设12,,,nXXX是取自总体X的一个样本,且221111,()1nniiiiXXSXXnn，则2()_________DS.【例3】设随机变量~()(1),Xtnn,则21~________YX30【例4】设总体X服从正态分布)2,0(2N,而1521,,,XXX是来自总体X的简单随机样本,求随机变量)(221521121021XXXXY的分布.【例5】设总体2~(,),XN设121,,,,nnXXXX是来自总体X的一个样本,且*221111,()()nniiiiXXSXXnn，试求统计量1*11nXXnSn的分布.二、参数估计1.矩估计2.最大似然估计3.区间估计4.估计量的评选标准【例5~】设总体X的分布函数为0,x1,F（x）=0,1=x2,2q,2=x3,1,x=3其中q(0q1/2)未知，1，1，3，2，1，2，3，3为取自X的样本值。（1）求q的矩估计。（2）求q的最大似然估计。【例6】设总体12~(,)XU，nXXX,,,21为来自总体X的样本，试求12,的矩估计和最大似然估计.【例7】设总体X的概率密度为.,0,21,1,10,),(其他xxxf其中是未知参数)10(,nXXX,,2,1为来自总体X的简单随机样本,记N为样本值nxxx,,2,1中小于1的个数,求：(1)的矩估计；(2)的最大似然估计.31【例8】设总体X的概率密度为36(),0,()0,xxxfx其他.nXXX,,,21为来自X的简单随机样本，(1)求的矩估计量ˆ；(2)判断的无偏性;(3)判断的一致性.三、假设检验1.假设检验的基本思想：对总体分布中的未知参数作出某种假设，根据样本在假设为真的前提下构造一个小概率事件，基于“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生而对假设作出拒绝或接受.2.单个正态总体均值和方差的假设检验.3.假设检验两类错误：第一类错误：原假设0H为真，但拒绝了0H.第二类错误；原假设0H为假，但接受到了0H.