第八章第4课时知能演练轻松闯关

一、选择题1．(2013·江南十校联考)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线方程为()A．2x＋y－3＝0B．x－2y＋1＝0C．x＋2y－3＝0D．2x－y－1＝0解析：选D.圆心C(3,0)，kCP＝－12，由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直线方程是y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.2．(2012·高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于()A．33B．23C.3D．1解析：选B.圆x2＋y2＝4的圆心(0,0)到直线3x＋4y－5＝0的距离d＝1，圆的半径为2，所以弦长|AB|＝222－12＝23，故选B.3．(2013·长春模拟)若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围()A．－2－5a－2＋5B．－2－5≤a≤－2＋5C．－5≤a≤5D．－5a5解析：选B.若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有|a＋2|5≤1，解得－2－5≤a≤－2＋5.4．(2012·高考山东卷)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离解析：选B.两圆的圆心距离为17，两圆的半径之差为1，半径之和为5，而1175，所以两圆相交．5．(2013·郑州模拟)直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝9相交于两点M、N，若c2＝a2＋b2，则OM→·ON→(O为坐标原点)等于()A．－7B．－14C．7D．14解析：选A.设OM→、ON→的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于|c|a2＋b2＝1，cosθ＝13，cos2θ＝2cos2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，OM→·ON→＝3×3cos2θ＝－7.二、填空题6．若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．解析：依题意得|OO1|＝5＋20＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝12·|AB|2·|OO1|＝12·|OA|·|AO1|，因此|AB|＝2·|OA|·|AO1||OO1|＝2×5×255＝4.答案：47．(2012·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．解析：圆与圆有公共点可转化为点到直线的距离小于或等于2可得．由圆C的方程得C(4,0)，则(4,0)到y＝kx－2的距离应不大于2，即|4k－2|k2＋1≤2解得0≤k≤43.故k的最大值为43.答案：438．(2013·淄博调研)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________．解析：由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a0，则圆C的半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为|a－1|2.根据勾股定理可得，|a－1|22＋(2)2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答题9．已知圆C的圆心与点P(－2,1)关于直线y＝x＋1对称，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，求圆C的方程．解：设点P关于直线y＝x＋1的对称点为C(m，n)，则由1＋n2＝－2＋m2＋1，n－1m＋2·1＝－1⇒m＝0，n＝－1.故圆心C到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝|－4－11|9＋16＝3，所以圆C的半径的平方r2＝d2＋|AB|24＝18.故圆C的方程为x2＋(y＋1)2＝18.10．(2013·湛江六校联考)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．解：假设存在斜率为1的直线l，满足题意，则OA⊥OB.设直线l的方程是y＝x＋b，其与圆C的交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1x1·y2x2＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.①由y＝x＋b，x2＋y2－2x＋4y－4＝0消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，∴x1＋x2＝－(b＋1)，x1x2＝12(b2＋4b－4)，②y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝12(b2＋4b－4)－b2－b＋b2＝12(b2＋2b－4)．③把②③式代入①式，得b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，且b＝1或b＝－4都使得Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)0成立．故存在直线l满足题意，其方程为y＝x＋1或y＝x－4.一、选择题1．由直线y＝x＋1上的一点向圆x2－6x＋y2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为()A．1B．22C.7D．3解析：选C.切线长的最小值在直线y＝x＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d2－r2＝8－1＝7，故选C项．2．若直线2ax－by＋2＝0(a0，b0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则1a＋1b的最小值是()A．4B．2C.12D.14解析：选A.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4.∵弦长为4，故为直径，即直线过圆心(－1,2)，∴a＋b＝1，∴1a＋1b＝(1a＋1b)(a＋b)＝2＋ba＋ab≥2＋21＝4，当且仅当a＝b＝12时，取等号，∴1a＋1b的最小值为4.二、填空题3．(2012·高考江西卷)过直线x＋y－22＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是________．解析：∵点P在直线x＋y－22＝0上，∴可设点P(x0，－x0＋22)，且其中一个切点为M.∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝x20＋－x0＋222＝2，解得x0＝2.故点P的坐标是(2，2)．答案：(2，2)4．(2013·金华调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：画图(图略)可知，圆上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，该圆半径为2即圆心O(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离d1，即0|c|131，∴－13c13.答案：(－13,13)三、解答题5．(2013·宿州调研)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为23，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标．解：(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，则圆心C1到直线l的距离d＝4－2322＝1.结合点到直线距离公式，得|3k＋1＋4k|k2＋1＝1，化简得：24k2＋7k＝0，k＝0，或k＝－724，所求直线l的方程为：y＝0或y＝－724(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P坐标为(m，n)，直线l1、l2的方程分别为：y－n＝k(x－m)，y－n＝－1k(x－m)，即：kx－y＋n－km＝0，－1kx－y＋n＋1km＝0，因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l1被圆C2截得的弦长相等，两圆半径相等．则圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等．故有：|－3k－1＋n－km|k2＋1＝|－4k－5＋n＋1km|1k2＋1.化简得：(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.因为关于k的方程有无穷多解，有：2－m－n＝0，m－n－3＝0或m－n＋8＝0，m＋n－5＝0.解之得：点P坐标为(52，－12)或(－32，132)．