第八节导数在经济管理方面的应用

第八节导数在经济管理方面的应用在经济管理决策中，经常会遇到需求分析问题、利润最大化问题、库存管理问题、成本最小化问题和复利问题等，这些都涉及到函数最值的判断与求解.如何应用导数解决经济管理决策中的这些决策问题呢？一、需求分析问题二、利润最大化问题三、库存管理问题四、成本最小化问题五、复利问题一、需求分析问题1000100,Qp,31000QC例1设某商品的需求量Q是单价p（单位：万元）的函数，商品的总成本C是需求量Q的函数，且商品价格和最大利润.试求使销售利润最大的商品利润：解()()()LPRPCP2()1000100RPQPPP()4000300CPP40001300100)(2PPPL()20013000LPP6.5P6.5P(6.5)225L令得唯一驻点所以时利润最大，（万元）最大利润为二、利润最大化问题()5200Cxx2()100.01Rxxx例2某厂生产每批A商品x台的费用为（万元），得到的收入为问每批生产多少，才能使利润最大？（万元），2()()()50.01200LxRxCxxx()50.02Lxx250x()Lx设利润函数为，则令解得由于解()0.020Lx所以(250)425L（万元）为极大值，也就是最大值.也就是，每批生产250台，可以获得最大利润425万元.02()()()50.01200LxRxCxxx()50.02Lxx()0Lx250x()Lx设利润函数为，则令，解得由于解()0.020Lx所以(250)425L（万元）为极大值，也就是最大值.也就是，每批生产250台，可以获得最大利润425万元.例3某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？1018050x解这是一个利润最大化问题.设房租为每月x元，租出去的房子有套每月总收入为)(xR)20(x1018050x1068)20()(xxxR101)20(1068)(xxxR570x即0)(xR令得350x（唯一驻点）故每月每套租金为350元时收入最高.最大收入为1035068)20350()(xR)(10890元三、库存管理问题例4某种物资一年需用量为24000件,每件价格为40元，年保管费用率12%，每次订购费用为64元，订购批量、最优订购次数、最优进货周期和最小总费用.试求最优24000Q设订货批量为Q,进货周期为T,总费用为C,则全年订购次数为总费用C由两部分组成：解这是一个库存管理问题.（1）订货费用为2400064Q；2Q4012%2Q因为每一进货周期T内都是初始库存量，因此保管费用为（2）保管费用.最大，到每个周期末库存量为零，所以全年每天平均库存量为于是总费用24000644012%2QCQ要使总费用最省，令0dCdQ即2240001644012%02Q得最优订购批量*800Q（件/批）36030T最优订购次数min24000800644012%38408002C（元）.2400030Q（批/年）；最优进货周期=12(天)；最小总费用四、成本最小化问题例5设成本函数为,61854)(2QQQC成本最小的产量.试求平均解平均成本为,61854)(QQQC254()6CQQ令()0CQ,解得3Q由于3108()0,(0CQQQ时）所以，Q=3是平均成本的最小产量，此时最小平均成本是54.五、复利问题投资使今年所得为x元，明年所得为y元.例6某企业根据现有技术与资源条件，原计划所作y与x之间有如下关系式：()yx，设年利率为r，每年计算复利一次，问该厂应如何调整投资，使所得的现值最大？解设W表示今年可得的x元与明年可得的y元的现值，则()1xWxr据题意，要使W最大，即只要求出满足0dWdx及220dWdx的x，就可使W达到最大.01)(1rxdxdW01)(22rxdxWd()0x()x()(1)xr()yx由于1+r0，所以当，时，可调整投资使今年所得的x满足这时，明年所得y也可由因此，经过这样的调整就可使所得现值达到最大.为上凸函数算出.