第2讲绝对值中的分类讨论思想

第2讲绝对值中的分类讨论思想（1）【链接方法】1.若xm（m＞0），则xm.2.若a＞0，则1aa；若a＜0，则1aa.3．灵活运用绝对值基本性质:①2220;;;aaaaabab≥②③④)0(bbaba；⑤ab≤ab.4.绝对值的非负性的应用：①若0ab，则0ab；②20ab，则0ab.【挑战例题】【例1】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点之间的距离为8，求这两个数.分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？解：设甲数为x，乙数为y由题意得：yx3，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，y0，则4y=8，所以y=2,x=-6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，则-2y=8，所以y=-4,x=-12若x、y在原点右侧，即x0，y0，则2y=8，所以y=4,x=12【例2】(山东省竞赛题)如果cba、、是非零有理数，且0cba，那么abcabcccbbaa的所有可能的值为()．A．0B．1或一lC．2或一2D．0或一2因为a+b+c=0，所以a、b、c、存在两种情况，即两个正数一个负数和一个正数两个负数。当两个正数一个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=1，abc/|abc|=-1，所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=0当一个正数两个负数时a/|a|+b/|b|+c/|c|=-1，abc/|abc|=1，所以a/|a|+b/|b|+c/|c|+abc/|abc|=2【例3】(1)(北京市“迎春杯”竞赛题)已知321cba，，，且cba，那么cba＝．因为abc，a最大为1，所以b只能是-2，cb所以只能是-3，又因为-1-2所以a=1或-1b=-2c=-3所以a+b+c=-6或-4.(2)(“希望杯”邀请赛试题)已知dcba、、、是有理数，169dcba，，且25dcba，那么cdab．｜a-b｜≤9，｜c-d｜≤16,且25=|a-b-c+d|=|(a-b)+(d-c)|≤|a-b|+|d-c|≤9+16显然，上式中只能“=”成立可见a-b与d-c同号，且|a-b|=9，|d-c|=16于是|b-a|-|d-c|=9-16=-7【例4】(“五羊杯”竞赛题)已知12bab与互为相反数，试求代数式：1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)abababab的值．思路点拨运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出ba、的值．根据已知|ab-2|与|b-1|互为相反数，可得b=1，a=2把a，b的值代入原式=1/2+1/（2×3）+1/（3×4）+…+1/（2013×2014）=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+…+1/2013-1/2014=1-1/2014=2013/2014【例5】有3个x的值使等式21xa成立，则a的值为.解：①若|x-2|-1=a，当x≥2时，x-2-1=a，解得：x=a+3，a≥-1；当x＜2时，2-x-1=a，解得：x=1-a；a＞-1；②若|x-2|-1=-a，当x≥2时，x-2-1=-a，解得：x=-a+3，a≤1；当x＜2时，2-x-1=-a，解得：x=a+1，a＜1；又∵方程有三个整数解，∴可得：a=-1或1，根据绝对值的非负性可得：a≥0．即a只能取1．故答案为1．变式：关于x的方程||x+3|-1|=a有三个解，则a的值为1解：①若|x+3|-1=a，当x≥-3时，x+3-1=a，解得：x=a-2，a≥-1；当x＜-3时，-x-3-1=a，解得：x=-a-4；a＞-1；②若|x+3|-1=-a，当x≥-3时，x+3-1=-a，解得：x=-a-2，a≤1；当x＜-3时，-x-3-1=-a，解得：x=a-4，a＜1；又∵方程有三个解，∴可得：a=-1或1，而根据绝对值的非负性可得a≥0，故答案为：1．【提升能力】1.x=3，y=2，且xy，则x+y的值为（）A、5B、1C、5或1D、—5或—1解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2，又∵x＞y，∴x=3，y=±2，∴x+y=5或x+y=1，故答案为D．2.若abab，则必有（D）A、a0,b0B、a0,b0C、ab0D、0ab3．设0cba，0abc，则cbabacacb的值是（）．A．-3B．1C．3或-1D．-3或1原式=-a/|a|-b/|b|-c/|c|=-（a/|a|+b/|b|+c/|c|）因为a+b+c=0,abc＞0所以a、b、c中一定有两个是负数，一个是正数。所以a/|a|、b/|b|、c/|c|中，有一个是1，两个是-1所以原式=-（a/|a|+b/|b|+c/|c|）=14.当b=时，5-12b有最大值，最大值是.当b＝0.5时，|2b-1|有最小值为0，即5-|2b-1|有最大值为55.若1999a与2000b互为相反数，则2011()ab-1.6.已知abc＜0，abc＞0，且abcabbccaxabcabbcca，则322013axbxcx2013.7．若ba、为有理数，那么，下列判断中：(1)若ba，则一定有ba；(2)若ba，则一定有ba；(3)若ba，则一定有ba；(4)若ba，则一定有22)(ba．正确的是(填序号).解：（1）若a=-2，b=2，|a|=b，但是a≠b，故错误；（2）若a=-3，b=-2，|a|＞|b|，但是a＜b，故错误；（3）若a=-2，b=-4，|a|＞b，但是|a|＜|b|，故错误；（4）若|a|=b，那么等号两边平方得a2=b2=（-b）2．故正确．故答案为：（4）8．(江苏省竞赛题)设cba、、分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且cba，则accbba可能取得的最大值是．解：∵a、b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字，并且a≤b≤c，∴a最小为1，c最大为9，∴|a-b|+|b-c|+|c-a|=b-a+c-b+c-a=2c-2a，∴|a-b|+|b-c|+|c-a|可能取得的最大值是2×9-2×1=16．故答案为16．9.使等式232xa成立的x的值有3个，则a的值为2.10.若5x，3y，且xyyx，求xy的值．xyyx知xy则x只能去-5，y可以取3或-3，则xy=15或-1511.若2a，5b，且0ab，求ba？|a|=4，a=4或-4，|b|=2，b=2或-2，ab0,a=4,b=2或a=-4,b=-2，ba6或-6.12.已知2a，4b，且0ba，求ba32的值．|a|=2，∴a=2或-2，|b|=4，∴b=4或-4，又∵a+b0∴a=2，b=4或a=-2，b=4，∴ba32=16或8.13．有理数cba、、均不为零，且0cba，设bacacbcbax，试求代数式19991914xx的值．解：由a，b，c均不为0，知b+c，c+a，a+b均不为0，又a，b，c中不能全同号，故必一正二负或一负二正，∴a=﹣（b﹣c），b=（c+a），c=﹣（a+b），即，∴中必有两个同号，另一个符号其相反，即其值为两个+1，一个﹣1或两个﹣1，一个+1，∴，，∴x19+99x+1914=1+99+1914=2014．14．(全国初中联赛题)求满足1abba的非负整数对(a，b)的值．解：设a＞b，则|a-b|+ab=a-b+ab=1，∴a（1+b）=1+b，∴a=1，∵b≥0，∴b=0．同理，当a＜b，原式=b（a+1）=a+1，∴b=1，a=0．当a=b时，a=b=1．∴答案为（1，1），（1，0），（0，1）．15．若cba、、为整数，且19919acba，求cbbaac的值．解：a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且|a-b|19，|c-a|99为两个非负整数，和为1，所以只能是|a-b|19=0且|c-a|99=1，①或|a-b|19=1且|c-a|99=0．②由①知a-b=0且|c-a|=1，所以a=b，于是|b-c|=|a-c|=|c-a|=1；由②知|a-b|=1且c-a=0，所以c=a，于是|b-c|=|b-a|=|a-b|=1．无论①或②都有|b-c|=1且|a-b|+|c-a|=1，所以|c-a|+|a-b|+|b-c|=2．