第3节抽样方法第二课时分层抽样与系统抽样—石雪梅

§3.2.1分层抽样(陕西师范大学石雪梅710062)【教材版本】北师大版【教材分析】1．知识内容与结构分析本节课的教学内容是北师大版数学必修3第一章§3抽样方法的第二课时分层抽样，在本节第一课时我们学习了简单随机抽样，它通常能够提供具有代表性的样本，但是如果总体包括一些不重叠的互斥的部分（称为层），这时用简单随机抽样抽取的样本可能不具有代表性，因此我们有必要学习一种新的抽样方法——分层抽样．教材通过问题情景引出分层抽样的概念，通过例2和例3说明了分层抽样在实际问题中应用的重要性．2．知识学习意义分析通过分层抽样的学习，我们知道随机抽样并不适合于解决所有有关统计的问题，如果我们遇到的总体是由差异明显的几部分组成的时候，这时分层抽样法将是最佳的选择，由于分层抽样法充分利用了总体的一些信息，从而具有较好的代表性，因此它在实践中有着广泛的应用．3．教学建议与学法指导使学生弄明白分层抽样使用的前提是总体可以分层，且层与层之间有明显的区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体中所占比例抽取．分层抽样要求对总体的内容有一定的了解，明确分层的界限和数目，只要分层恰当，一般来说分层抽样法的抽样结果比简单随机抽样法的抽样结果更能反映总体情况．【学情分析】本节内容是在学习简单随机抽样的基础上来学习的，分层抽样是指在分组（或层）后，每一组（或层）中的抽样都是运用简单随机抽样的方法抽样．【教学目标】1．知识与技能（1）理解分层抽样的概念以及分层抽样的特点；（2）掌握分层抽样的一般步骤．2．过程与方法教材以问题2为切入点引入分层抽样的概念，通过例2和例3讲解了分层抽样的操作步骤，虽然其操作有些复杂，但是它仍然是一种比较重要的抽样方法，教学时需要通过丰富的实例，在具体的问题情境中去了解分层抽样法．3．情感、态度与价值观掌握分层抽样的一般步骤及其与简单随机抽样法之间的联系，体会数学知识与现实生活之间的联系，能准确合理地选择相应的抽样方法解决实际问题．【重点难点】教学重点：分层抽样的概念及分层抽样法的一般步骤；教学难点：分层抽样法在具体问题情境中的应用．【教学环境】◆多媒体教室◆多媒体课件【教学过程】一、创设情境问题：某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取36人进行调查，应当采用怎样的抽样方法？（或以课本中的例子为例）分析：在这个问题中，总体是由差异明显的三部分组成，如果采用简单随机抽样的方法，可能抽样的结果不具有代表性，从题目可以看出，最好是在老年人中随机抽取6人，中年人中随机抽取12人，青年人中随机抽取18人进行调查．也就是说：我们要对每个类型的人分别进行抽样，从而引入一种新的抽样方法——分层抽样．二、新课导入1．分层抽样的定义将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层），然后在每个类型中随机抽取一定样本，这种抽样方法通常叫做分层抽样，有时也称作类型抽样．注意：在每个层中进行抽样时，大多数情况下是采用简单随机抽样，有时候也会用到其他抽样方法，这要根据问题的需要来决定．2．分层抽样的一般步骤例2某地农田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要对这个地区的农作物产量进行调查，应当采用什么什么抽样方法？解显然不同类型的农田之间的产量有较大差异，应当采用分层抽样的方法，对不同类型的农田按其总数的比例来抽取样本．例3某公司有1000名员工，其中：高层管理人员占5%，属于高收入者；中层管理人员占15%，属于中等收入者；一般员工占80%，属于低收入者．要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样？解我们可以采用分层抽样的方法，按照收入水平分成三个层：高收入者、中等收入者、低收入者．可抽取5名高级管理人员、15名中层管理人员、80名一般员工，再对收入状况分别进行调查．分层抽样的步骤：（1）将总体按照一定标准分层；（2）计算各层的个体数与总体的个体数的比（或计算抽取比例，即抽取总数与总体的比）；（3）按各层的个体数与总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；（4）分别对每一层运用简单随机抽样法进行抽样．3．分层抽样的特点由分层抽样的定义和步骤总结分层抽样的特点：（1）当总体容量和样本容量较大，且总体差异较明显时，宜采用分层抽样法；（2）分层抽样是不放回抽样，而且抽样过程中每个个体被抽到的可能性都相等，分层抽样在分组（或层）后，每一组（或层）中的抽取都是用简单随机抽样的方法进行抽样．三、典例剖析例1为了保证分层抽样时，每个个体等可能地被抽取，必须要求（）A．所有层用同一抽样法等可能抽样；B．每层抽取同样多的样本容量；C．每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足(12...)iiNnnN、个个体（其中i是层数，n是抽取的样本容量，iN是第i层中个体的个数，N是总体的容量）；Ｄ．只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制．分析：正确解应该为C．分层抽样时，在每层中按层在总体中所占的比例进行抽样，大多数情况下采用简单随机抽样，有时也会用到其他的抽样方法，由此知A不正确；B由于每层的量不一定相等，每层抽取个体数自然不一定相等，故B也不正确；C对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i无关，即对于每一个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C正确，D不正确．例2某县共有270个村庄，其中山区30个，丘陵地区150个，平原地区90个，为调查村民的收入状况，要从中抽取27个村庄进行调查，试用分层抽样法进行抽样．解法一具体做法如下：第一步将总体按照一定标准分类，题目已经将270个村庄分为三类：山区、丘陵以及平原；第二步山区占所有村庄的19，丘陵占所有村庄的59，平原占所有村庄的39；第三步按照分层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量分别是3个、15个、9个；第四步分别在山区里随机抽取3个村庄，丘陵地区随机抽取15个村庄，平原地区里随机抽取9个村庄．解法二具体做法如下第一步同解法一第一步；第二步此题的抽取比例为27127010；第三步每层抽取人数分别为：130310，11501510，190910；第四步同解法一第四步．四、学习评价1．在120个零件中有一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取容量为20的一个样本，则每个个体被抽到的概率是（）A、1120；B、120；C、160；D、162．某地区有A、B、C三家养鸡场，鸡的数量分别为12000只，8000只，4000只，为了预防禽流感，现用抽样分层的方法从中抽取一个容量为120只的样本检查疫情，则从A、B、C三家鸡场分别抽取的只数为（）3．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲、乙、丙三条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知从甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数分别为a、2a、3a，则乙生产线生产了（）件产品．4．某校高中三年级共有3000人，且三个年级的学生人数之比为5：3：2，现要用分层抽样方法从所有学生中抽取一个容量为30的样本，问这三个年级分别应抽取多少人？答案：1.D；2.60,40,20；3.5600；4.15,9,6五、课堂小结本节课主要学习了分层抽样的概念、特点以及实际操作中的一般步骤．通常当总体容量和样本容量较大，且总体中个体之间具有明显差异时，常采用分层抽样法．由于分层抽样充分利用总体中的一些信息，从而具有较好的代表性，在实践中有着广泛的应用．六、作业布置第20页第3题．【专家点评】本教学设计重点突出，流程合理，教学方法得当，值得广大一线教师在教学中学习与借鉴。（1）本文通过一个特例，创设了一个用简单随机抽样不能解决的问题情境，突出了分层抽样的必要性与重要性；（2）给出分层抽样定义并分析其基本特征；（3）典例分析，进一步巩固与加深学生对分层抽样的理解；（4）学习反馈与及时评价；（5）课堂小结，布置作业。通过以上分析可知本教学设计体现的教学流程是在中学教学中概念教学或方法教学中常用的设计形式。（点评人：陕西师范大学数学与信息科学学院马文杰）