第4章 线性规划在工商管理中的应用

管理运筹学1第四章线性规划在工商管理中的应用•§1人力资源分配的问题；•§2生产计划的问题；•§3套裁下料问题；•§4配料问题；•§5投资问题。管理运筹学2§1人力资源分配的问题例1．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下：设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?班次时间所需人数16：00——10：0060210：00——14：0070314：00——18：0060418：00——22：0050522：00——2：002062：00——6：0030管理运筹学3§1人力资源分配的问题解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6约束条件：s.t.x1+x6≥60x1+x2≥70x2+x3≥60x3+x4≥50x4+x5≥20x5+x6≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6≥0管理运筹学4§1人力资源分配的问题例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？时间所需售货员人数星期日28星期一15星期二24星期三25星期四19星期五31星期六28管理运筹学5§1人力资源分配的问题解：设xi(i=1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5+x6+x7约束条件：s.t.x1+x2+x3+x4+x5≥28x2+x3+x4+x5+x6≥15x3+x4+x5+x6+x7≥24x4+x5+x6+x7+x1≥25x5+x6+x7+x1+x2≥19x6+x7+x1+x2+x3≥31x7+x1+x2+x3+x4≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7≥0管理运筹学6§2生产计划的问题例3．某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如表。问：(1)公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？(2)甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56--机加工成本(元/件)213装配成本(元/件)322产品售价(元/件)231816管理运筹学7§2生产计划的问题解：设x1,x2,x3分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数，x4,x5分别为由外协铸造再由本公司加工和装配的甲、乙两种产品的件数。求xi的利润：利润=售价-各成本之和产品甲全部自制的利润=23-(3+2+3)=15产品甲铸造外协，其余自制的利润=23-(5+2+3)=13产品乙全部自制的利润=18-(5+1+2)=10产品乙铸造外协，其余自制的利润=18-(6+1+2)=9产品丙的利润=16-(4+3+2)=7可得到xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。管理运筹学8§2生产计划的问题通过以上分析,可建立如下的数学模型:目标函数：Max15x1+10x2+7x3+13x4+9x5约束条件：5x1+10x2+7x3≤80006x1+4x2+8x3+6x4+4x5≤120003x1+2x2+2x3+3x4+2x5≤10000x1,x2,x3,x4,x5≥0管理运筹学9§2生产计划的问题例4．永久机械厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，均要经过A、B两道工序加工。设有两种规格的设备A1、A2能完成A工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成B工序。Ⅰ可在A、B的任何规格的设备上加工；Ⅱ可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；Ⅲ只能在A2与B2设备上加工。数据如表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？设备产品单件工时设备的有效台时满负荷时的设备费用ⅠⅡⅢA15106000300A2791210000321B1684000250B24117000783B374000200原料（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80管理运筹学10§2生产计划的问题解：设xijk表示第i种产品，在第j种工序上的第k种设备上加工的数量。建立如下的数学模型:s.t.5x111+10x211≤6000（设备A1）7x112+9x212+12x312≤10000（设备A2）6x121+8x221≤4000（设备B1）4x122+11x322≤7000（设备B2）7x123≤4000（设备B3）x111+x112-x121-x122-x123=0（Ⅰ产品在A、B工序加工的数量相等）x211+x212-x221=0（Ⅱ产品在A、B工序加工的数量相等）x312-x322=0（Ⅲ产品在A、B工序加工的数量相等）xijk≥0,i=1,2,3;j=1,2;k=1,2,3管理运筹学11§2生产计划的问题目标函数为计算利润最大化，利润的计算公式为：利润=[（销售单价-原料单价）*产品件数]之和-（每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。这样得到目标函数：Max(1.25-0.25)(x111+x112)+(2-0.35)x221+(2.80-0.5)x312–300/6000(5x111+10x211)-321/10000(7x112+9x212+12x312)-250/4000(6x121+8x221)-783/7000(4x122+11x322)-200/4000(7x123).经整理可得：Max0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.4475x122-1.2304x322-0.35x123管理运筹学12§3套裁下料问题例5．某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9m,2.1m,1.5m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解：共可设计下列5种下料方案，见下表方案1方案2方案3方案4方案52.9m120102.1m002211.5m31203合计7.47.37.27.16.6剩余料头00.10.20.30.8管理运筹学13§3套裁下料问题设x1,x2,x3,x4,x5分别为上面5种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Minx1+x2+x3+x4+x5约束条件：s.t.x1+2x2+x4≥1002x3+2x4+x5≥1003x1+x2+2x3+3x5≥100x1,x2,x3,x4,x5≥0管理运筹学14•用“管理运筹学”软件计算得出最优下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根。即x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；只需90根原材料就可制造出100套钢架。•注意：在建立此类型数学模型时，约束条件用大于等于号比用等于号要好。因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢，但它可能是最优方案。如果用等于号，这一方案就不是可行解了。§3套裁下料问题管理运筹学15§4配料问题例6．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如右表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25%50乙原材料1不少于25%，原材料2不超过50%35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）11006521002536035管理运筹学16§4配料问题解：设xij表示第i种（甲、乙、丙）产品中原料j的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑：对于甲：x11，x12，x13；对于乙：x21，x22，x23；对于丙：x31，x32，x33；对于原料1：x11，x21，x31；对于原料2：x12，x22，x32；对于原料3：x13，x23，x33；目标函数：利润最大，利润=收入-原料支出约束条件：规格要求4个；供应量限制3个。管理运筹学17§4配料问题•利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙丙使用的原料单价*原料数量，故有目标函数Max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）-65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33）=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33约束条件：从第1个表中有：x11≥0.5(x11+x12+x13)x12≤0.25(x11+x12+x13)x21≥0.25(x21+x22+x23)x22≤0.5(x21+x22+x23)管理运筹学18§4配料问题从第2个表中，生产甲乙丙的原材料不能超过原材料的供应限额，故有(x11+x21+x31)≤100(x12+x22+x32)≤100(x13+x23+x33)≤60通过整理，得到以下模型：管理运筹学19§4配料问题例6．（续）目标函数：Maxz=-15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33约束条件：s.t.0.5x11-0.5x12-0.5x13≥0（原材料1不少于50%）-0.25x11+0.75x12-0.25x13≤0（原材料2不超过25%）0.75x21-0.25x22-0.25x23≥0（原材料1不少于25%）-0.5x21+0.5x22-0.5x23≤0（原材料2不超过50%）x11+x21+x31≤100(供应量限制）x12+x22+x32≤100(供应量限制）x13+x23+x33≤60(供应量限制）xij≥0,i=1,2,3;j=1,2,3管理运筹学20§4配料问题标准汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)库存量(L)1107.57.11×10-2380000293.011.38×10-2265200387.05.69×10-24081004108.028.45×10-2130100例7.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合，可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？飞机汽油辛烷数蒸汽压力(g/cm2)产量需求1不小于91不大于9.96×10-2越多越好2不小于100不大于9.96×10-2不少于250000表4---6表4---7管理运筹学21§4配料问题11121314xxxx解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。目标函数为飞机汽油1的总产量：库存量约束为：1121122213231424380000265200408100130100xxxxxxxx产量约束为飞机汽油2的产量：21222324250000xxxx由物理中的分压定律，可得有关蒸汽压力的约束条件：1njjjPVpv11121314212223242.851.424.2718.4902.851.424.2718.490xxxxxxxx同样可得有关辛烷数的约束条件为：111213141112131416.52.04.017.007.57.013.08.00xxxxxxxx管理运筹学22§4配