球的表面积与体积题型

思考：如何求球的体积？排液法：hHhR32:,3VR半球猜测从而?半球V331RV圆锥3VR圆柱高等于底面半径的旋转体体积对比球的体积343VR球球的体积公式343VR球则球的体积为：iV设“小锥体”的体积为iVnVVVVV321iSOO34133RsR球的表面积公式推导24SR一、基本计算问题例1.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的________倍.(2)把球队表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大为原来的_______倍.(3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积之比为_________.(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面积之比为________.82233:22:19:4:1例题讲解（4）.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是______.2422:134:1（1）.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___倍.（2）.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___倍.（3）.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是______.例2一、基本计算问题练习.钢球直径是5cm,求它的体积.333445125()3326VRcm例3.如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:(1)球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O一、基本计算问题例4.一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它的内径.(钢的密度是7.9g/cm2)解:设空心钢球的内径为2xcm,则钢球的质量是答:空心钢球的内径约为4.5cm.334547.9[()]142323x3.1149.73142)25(33x由计算器算得:2.24x5.42x一、基本计算问题球的体积公式343VR球24SR球的表面积公式2)球的体积比等于半径的立方比,表面积之比等于半径的平方比.1)球的体积：数。球的体积是球半径的函,πR34v3的函数。，球的表面积也是半径4πR球的表面积：s2表规律小结:问:若三个球的体积之比为1:8:27,则它们的半径之比.(1)V1:V2=R13:R23;S1:S2=R12:R22.(3)解这类问题的关键:找到变化前后半径的大小关系.AOirO.B2C2BiCiAO把垂直于底面的半径OA作n等分，经过这些分点，用一组平行于底面的平面把半球切割成n层，每一层的几何体怎样？用一个平面去截一个球O，截面是圆面222dRrrdROß球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离为d，球的半径为R，则二、截面问题ß例4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面,它们的面积分别为49πcm²和400πcm²,求球的表面积。若将“球心同侧”这个条件去掉，又如何？OBAO₁O₂OBAO₁O₂.2R.16444S2R,)3()2R(R222OABCO,,222AOOOOAAOORt中解：在;3322343433RV例5.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=3cm，求球的体积，表面积．二、截面问题二、截面问题例6.一球的球面面积为256πcm2，过此球的一条半径的中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆的面积.π48二、球与多面体的接、切定义1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。解决“接切”问题的关键是画出正确的截面，把空间“接切”转化为平面“接切”问题1.与正方体有关的切接问题正方体的内切球正方体的内切球的半径是棱长的一半21araa正方体的外接球正方体的外接球半径是体对角线的一半ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O正方体的棱切球aa2ar222例3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1O22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt得中略解：ABCDD1C1B1A1O正方体的外接球1.球与正方体的“接切”问题1.球与正方体的“接切”问题典型：有三个球,甲球切于正方体的各面,乙球切于正方体的各侧棱,丙球过正方体的各顶点,求这三个球的体积之比.•画出正确的截面：(1)中截面；(2)对角面；•找准数量关系21araaaa2ar222aa2ar23333:22:1要研究球的表面积，必须考虑球面的特征，球面有什么特征呢？球面不可展，故球的表面积不便用求平面图形面积的方法来解决。2、求长方体的外接球的有关问题例、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为，故球的表面积为.1414若长方体的过同一顶点的三条棱长为a,b,c各顶点均在同一球面上,则此球的半径为.22221cbar．已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为3宽为4的长方形.若PA=2,则球O表面积为______________.2、构造长方体3.构造直角三角形1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4л33CD6л2·●●●●O●●BDCA1O解：设四面体为ABCD，为其外接球心。1O球半径为R，O为A在平面BCD上的射影，M为CD的中点。M连结B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223(),,43.323RRRR球解得所以SAR1、一个四面体的所有的棱都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积（）A3лB4л33C2D6лD1C1B1A1DCBA234()3,2S球=解法2构造棱长为1的正方体，如图。则A1、C1、B、D是棱长为的正四面体的顶点。正方体的外接球也是正四面体的外接球，此时球的直径为，23选A4.补形成正方体正四面体的棱长为a,与外接球半径R的关系为aR262边长为a的正四面体可以看成是边长是(√2/2)a的正方体截出来的,则其外接球直径是正方体边长的倍.3OABCD设球的半径为r，则VA-BCD=VO-ABC+VO-ABD+VO-ACD+VO-BCD这四个四面体的高都是内切球的半径R,底面都是以a为边长是正三角形,利用等体积法可以求出内切球半径R的值.2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。解法2：连结OA、OB、OC、OP，那么EO1PODCBA4PABCOPABOPBCOPCAOABCOABCVVVVVV11,3PABCABCVSPO因11,3OABCABCVSOO14Or所以P1626,.2Or易求P所以2、若正四体的棱长都为6，内有一球与四个面都相切，求球的表面积。解：作出过一条侧棱PC和高PO的截面，则截面三角形PDC的边PD是斜高，DC是斜高的射影，球被截成的大圆与DP、DC相切，连结EO，设球半径为r，16,,2rPOrDOPD得246Sr球故RtPEO∽1RtPOD由EO1PODCBA2.四面体与球的“接切”问题典型：正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等2、正多面体的内切球和外接球的球心重合3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理5、体积分割是求内切球半径的通用做法假设正多面体的几何中心为P点,连接P点和各个定点,你可以用全等三角形证明P点到各个顶点的距离相等,即P点为该多面体的外接球的球心.同理,连接P点和各个面的中心,你可以证明这些线段也相等,即P点也是该多面体的内切球球心.即为一点解题小结：1、多面体的“切”、“接”问题，必须明确“切”、“接”位置和有关元素间的数量关系，常借助“截面”图形来解决。2、正三棱锥、正四面体是重要的基本图形，要掌握其中的边、角关系。能将空间问题化为平面问题得到解决，并注意方程思想的应用。4、正四面体的内切球半径等于其高的四分之一，外接球半径等于其高的四分之三。ACBPO构造正方体例、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是39ACPBACPBABCDOABCDO求正多面体外接球的半径求正方体外接球的半径例题、一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A.B.C.D.234336A如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面面积和球的表面积之比为______．圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形轴就是过底面重心的高线,而轴截面是过轴的截面旋转轴就是从锥筒尖做的垂线