第4章物理

第4章动量和角动量一、动量定理1、动量和均为描述机械运动的状态量，但两者有重要区别：是物体之间传递机械运动的量度；是物体的机械运动形式与其他运动形式相互转换的一种量度。2、冲量：冲量是力对时间的累积，导致机械运动的传递。3、动量定理：质点：。质点系：二、动量守恒定律矢量式：；分量式：利用某一方向上的动量守恒分量式常可简捷地解决力学问题。三、碰撞问题满足动量守恒定律：满足牛顿规则（沿碰撞方向）；。恢复系数四、火箭飞行问题箭体运动方程：。火箭飞行速度：五、质心：质心是质点系中运动特别简单，能代表质点系整体运动的特殊点。1、质心位置或。2、质点系动量3、质心运动定理六、质点角动量及其规律1、角动量：角动量是与各质点动量和参考点位置有关的状态量。（1）质点：。（2）质点系：2、角动量规律（1）转动动力学方程：。（2）角动量定理：（3）角动量守恒定律：。第4章动量和角动量【例4-1】如题图4-1a所示，斜面长5米，高3米，斜面的下端与一水平面相接，一物块从斜面上端由静止开始下滑，物块与斜面及平面的摩擦系数均为，（）。求物块从斜面顶端由静止开始下滑，滑到平面上后还能在平面上滑行多长距离？（取10）【解】设物块滑到斜面下端的速度大小为，根据功能原理得这里应注意的是的方向是沿着斜面的，当物块通过转角处，速度变为水平方向，物体的动量发生了改变，则必定受到外力的冲量。参阅题图4-1b。在垂直方向（方向）应用动量原理：由于物体通过转角处的时间很短，物体与水平面碰撞瞬间的正压力，上式可写成：（1）再在水平方向（方向）上应用动量原理：（2）由于所以（3）比较（2）、（3）式得：由此解得，得通过转角后，物块在水平面上开始运动的速度物块还能在水平面上滑行的距离，仍可用动能定理得【例4-2】光滑的A玻璃弹子直径厘米，以速度米/秒的速度与另一原来静止的完全相同的B玻璃弹子相撞，如题图a所示。运动弹子质心速度为的方向偏离静止弹子球心距离厘米，两弹子间的恢复系数，求碰撞后两弹子各速度为多少？【解】取两弹子碰撞瞬时球心的连线方向为轴，垂直于连心线的方向为轴。（见题图b）由题意玻璃弹子光滑，所以两弹子在方向上的相互作用力为零，A玻璃弹子在方向上的速度保持不变：米/秒在方向上，系统合外力为零，动量守恒：即：米/秒（1）又有恢复系数定义得：由题意知，，上式可改写为：米/秒（2）解（1）、（2）式得：米/秒；米/秒。由此知两球碰撞后的速度分别为：米/秒米/秒【例4-3】试计算半径为R，顶角为的匀质扇形板的质心位置。【解】我们先把大扇形分割成很多很小的顶角相同的小扇形，顶角很小的扇形就非常接近于三角形，三角形的质心位于中线的位置上，当顶角趋向于零时，各扇形的质心位于就分布在的圆弧上，因此我们求该扇形的质心只要求半径，张角为的匀质圆弧的质心即可。设这圆弧单位长度的质量为。根据质心计算公式：作为特例，如要计算匀质半圆薄板的质心，只需将，代入上式即可：【例4-4】质量为M的人，手里拿着质量为m的物体，此人用与地平线成的速度向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度u向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？【解】方法一，如题图4-4a，取地面坐标系，用动量守恒定律求解：人不向后抛出物体，所能跳过的距离：式中T为人跳离地面的时间。由：解得：（删去）可得：人在最高点以相对于自己u的速度向后抛出物体的过程中，参阅题图a，应用动量守恒原理。可得人以相对于自己u的速度向后抛出物体后人的速度：可见人比不抛出物体时速度增加了速度：因此人在抛出物体后多跳过的距离：方法二，质心坐标系中应用动量守恒定律：可得：在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体多跳过的距离：方法三，应用质心运动定律求解：由于内力不改变质心原来运动的轨迹，由在质心C落地位置为人不抛出物体时原来落地位置，现人以相对于自己速度u抛出物体m时，在下落时间过程中，人M与物体m之间的距离：由质心位置公式知，质量为M的人离质心距离为：【例4-5】如图所示，一质量为的匀质链条，长为L，手持其上端，下端与桌面接触。现使链条自静止释放落于桌面，试从下述三种不同的规律出发，计算链条下落距离时桌面对链条的作用力：（1）动量规律；（2）质心运动规律;（3）变质量动力学规律；【解】这是一个连续分布的柔性质点系，可以选择不同的部分作为研究对象，也可以从不同的角度求解。方法一，运用动量规律求解。取如图b坐标。设时刻下落至桌面部分的链条长为，质量为；至时间内落到桌面上的链条质量为，其速度由减到0。选取已下落至桌面以及时间内下落至桌面的段链条为研究对象。由于链条自由下落，段仅受到重力和桌面支撑力的作用，根据质点系动量定理：略去段重力，得：因，，代入上式，且按题意，解得：。可见链条下落时对桌面的冲击力为已下落至桌面上链条重量的两倍。方法二，运用质心运动规律求解。由于整条链条受重力和桌面支撑力的作用，其质心作加速运动。选取如图c所示的坐标，以整条链条为研究对象。质心位置：质心速度：质心加速度：且：,代入上式有：根据质心运动定理：解得：方法三，运用变质量动力学规律求解。取下落至桌面部分的链条为研究主体，其质量逐渐增加，对如图b坐标，质量流相对主体速度大小：质量流：质量流对主体的推力：主体在其重力、桌面支撑力和质量流对主体的推力作用下保持静止。根据变质量动力学方程：，同样得到上述结果。【例4-6】从地球表面沿与铅垂线成角的方向发射一抛射体初速度，式中M、R分别为地球的质量和半径。若忽略空气阻力和地球自转的影响，试求：（1）抛射体上升的最大高度H和射程的直线距离AD；（2）求飞行时间T。【解】（1）由于发射速度比较大，飞行高度与地球半径可比较，见图a。抛射体在飞行过程中受到的引力大小和方向都在改变，可以证明其运动轨迹不再是抛物线，而是椭圆。抛射体受地球引力作用，对地心的力矩为零，抛射体对地心的角动量守恒。在发射地A和最大高度B处的角动量满足：（1）物体只在地球引力作用下运动，系统的机械能守恒：（2）将，和（1）式代入（2）式，则（2）式简化为：该二次三项式的解为：，解得：椭圆的远地点，椭圆的近地点。椭圆的长半轴和短半轴分别为：（3）由图b可见，抛射体的发射点和落地点正处在椭圆短半轴的端点上，抛射体飞行的最大高度和射程的直线距离分别为：例如沿角方向发射，抛射体可达到的最大高度为：。（2）由图b所示抛射体的飞行的面积速度：从发射点到落地点抛射体扫过的面积为半椭圆和一三角形OAD面积之和，即：由开普勒第二定律得抛射体的飞行时间：若，则飞行时间为。第4章动量和角动量4.2如图所示的圆锥摆，绳长为，绳子一端固定，另一端系一质量为m的质点，以匀角速绕铅直轴线作圆周运动，绳子与铅直线间的夹角为。在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量；（2）质点所受张力T的冲量。4.4—物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度。已知其中一力方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图所示。求：（1）力在到间所做的功；（2）其他力在到间所做的功。4.6一运煤的传送带以的恒定水平速率传动，每秒运煤20kg。若传送带与运输车厢高度差为0.8m，且运输车静止不动，求煤对运输车的冲力。（取）。4.7水平桌面上放一质量为M的木块，木块与桌面间的摩擦系数为，现有一质量为m的子弹与水平面成，方向以速度击中木块，并留在木块里。求：子弹和木块速度能到达多大的共同水平速度V？4.10一物体在光滑的水平面上以速度沿x正方向运动，突然由于内部作用在水平面内分裂成A、B、C三个碎片，它们的质量为。取物体分裂处为坐标原点，经后其中两个碎片的位置为A（15，-6）和C（4，9），试求B碎片的位置。4.11质量为M，长为L的细绳在水平面内以角速度绕O点匀速转动，如图所示。试用下述两种方法计算离中心r处的绳子张力：（1）牛顿运动定律；（2）质心运动定理。4.14大小相同，质量分别为和的A、B两球，系在一细柔绳的两端，放在光滑的水平桌面上，细绳被两球拉直在两球的联心线上，如图所示。当B球受到一大小未知，方向与x轴成角度，通过B球中心的水平冲量作用时，获得大小为的速度。忽略细柔绳的质量和变形，试求B球的速度方向和作用在B球上冲量的大小。4.15质量为m的球，从质量为M的面圆弧形槽中静止下滑，设圆弧形槽的半径为R，如图所示。若所有摩擦都可忽略，求小球刚离开圆弧形槽时，小球和木块速度各是多少？4.16质量的框子，用一弹簧悬挂起来，弹簧伸长0.10m。现有质量的油灰由距离框底0.30m的高处自由落到框上，如图所示。求油灰冲撞框子而使框向下移动的最大距离。4.18质量为和的两个自由质点相互吸引，引力与其质量的乘积成正比，与距离的平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点都处于静止状态，其间距为，试求两质点距离为时两质点的速度。4.19光滑水平路面上有一质量为的无动力小车以匀速率向前行驶，小车由轻绳与另一质量的车厢连接，车厢前端放有一质量的物体，物体与车厢间的摩擦系数为，如图所示。开始时，车厢静止，绳未拉紧，试求：（1）当小车、车厢、物体以共同速度运动时，物体相对车厢的位移；（2）从绳子拉紧到小车、车厢与物体具有共同速度所需要的时间（取）。4.23如图所示，光滑水平面上有两只相同的光滑钢球，开始时A球沿x轴以动量运动，B球静止在，的位置。当A、B发生碰撞之后，B球动量的大小，试在图b中画出A球所受到的冲量和碰撞后A球的动量。4.24某人以恒力拉煤车时，由于煤车底部出现漏洞，煤粉以的速率漏掉。设煤车原来静止，质量为，自时刻开始拉车，同时出现漏煤现象，忽略煤车与地面之间的摩擦，试求时刻煤车的速率。4.25质量为6000kg的火箭，竖直发射，假定喷气速度为1000m／s，问每秒内必须喷出多少气体，才能满足下列条件：（1）能克服火箭重量所需要的推力；（2）能使火箭最初向上的加速度为。4.26火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飞出，在飞离地球过程中，火箭发动机停止工作，不计空气阻力，求火箭在距地心4R的A处的速度。4.28在光滑的水平桌面上，放有一质量为M的木块，木块与一轻弹簧相连，弹簧的另一端固定在O点上，其劲度系数k。一质量为m的子弹以初速度射向M，并嵌在木块内，初始时弹簧原长为，撞击之后木块M运动，到B点时，弹簧长度为L。求在B点时木块的运动速度的量值及与弹簧OB的夹角。第4章动量和角动量答案4.2（1）0（2），方向向上4.4（1）（2）4.64.74.10，4.114.14，4.15，4.164.18，4.19（1）（2）4.244.25（1）（2）4.26，4.28，答案与提示4.4式中为半个椭圆面积。4.6因为；又4.7与解题示例1方法类同。4.144.244.28子弹射入木块时动量守恒，然后在转动过程中机械能守恒，角动量守恒。教材习题：4.1（1）（2）04.13本题可列出方程，可无法解出其结果，建议删去。