第4章矩阵的特征值及二次型

1第4章矩阵的特征值及二次型一、内容解析1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法；设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量x，使得xAx则称数为A的特征值，称x为A相应于特征值的特征向量。注意特征向量必为非零向量。例如，设11,2,3113xA因112113113所以2为x的特征值，11为A相应于2的特征向量。特征值的求法：求特征方程0||AI的根；特征向量的求法：求齐次线性方程组oxAI)(的非零解，称为矩阵A的相应于特征值的特征向量。几个有用的结论：（1）n阶方阵n个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。（2）n阶方阵n个特征值之乘积等于方阵的行列式值。（3）若为方阵A特征多项式的k重根，则A相应于的特征向量线性无关的个数不会超过k，即有可能相等，有可能小于。（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。由此结论知，方阵A所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；设A，B都是n阶方阵，若有可逆方阵P,使P-1AP=B则称B是A的相似矩阵，或说A和B相似，记为AB，对A进行运算P-1AP称为对A进行相似变换，其中可逆阵P称为相似变换矩阵。相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。3.掌握实对称矩阵对角化的方法。当n阶矩阵A有n个线性无关的特征向量时，A被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有A=PP-1其中P是以特征向量为列向量的方阵，是以特征值为对角线元素的对角阵。24.理解二次型的定义，二次型的矩阵表示；把变量nxxx,,,21的二次齐次多项式222112222221221112112211121),,,(nnnnnnnnnnnnxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf称为n元二次型。利用矩阵的乘法，可把二次型确切地用矩阵表示为AXXxxxfn),,,(21其中nxxxX21，jiijnnnnaaaaaaA且1111。5.了解二次型的标准形及其矩阵描述；只有平方项而没有交叉乘积项的二次型，即),,,(21nyyyf2222211nnydydyd称其为二次型的标准形。任何一个二次型都可化为标准形。即任何一个对称阵A，总能找到可逆阵C，使ACC成为对角阵。6.掌握用配方法化二次型为标准形的方法；以三个变量的二次型为例，即),,(233323321331322322221221311321122111321xaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxaxxxf先将含1x的各项配成一个含1x的一次式的完全平方，再将含2x的各项配成完全平方，作变量替换，可得标准形。7.了解正定矩阵的概念，掌握正定矩阵的判定。若二次型AxxT21),,(nxxxf对任意非零向量Tnxxx),,(21x，恒有0TAxx，则称f为正定二次型，也称实对称矩阵A为正定矩阵。正定矩阵的判别可利用下面的等价条件。设A为n阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）A是正定矩阵；（2）A的正惯性指数为n（3）A的n个特征值全大于零。二、典型例题3例1单项选择题（1）设BA,为n阶矩阵，既是A又是B的特征值，x既是A又是B的特征向量，则结论（）成立．(A)是BA的特征值(B)是BA的特征值(C)x是BA的特征向量(D)是AB的特征值（2）设矩阵A的特征多项式300020001AI，则A的特征值为()．A．1B．2C．3D．11，22，33（3）设矩阵1111A的特征值为0，2，则3A的特征值为()．A．0，2B．0，6C．0，0D．2，6解：（1）由题给条件可知：Ax=x，Bx=x，那么（A+B）x=Ax+Bx=x+x=2x所以，x是BA的相应于特征值2的特征向量。正确答案：C（2）由0)3)(2)(1(300020001AI可知，A的特征值为11，22，33。正确答案：D（3）因为0)6(33333AI可知，A的特征值为01，62。正确答案：B例2用配方法将二次型322322213216537),,(xxxxxxxxf化为标准型，并求出所作的满秩变换．解：322322213216537),,(xxxxxxxxf23233222212)2(37xxxxxx423232212)(37xxxx令3332211,,xyxxyxy（*）即得232221321237),,(yyyxxxf由式（*）解出321,,xxx，即得3332211yxyyxyx或写成321321100110001yyyxxx例3用配方法将二次型32312123213216223),,(xxxxxxxxxxxf化为标准型，并求出所作的满秩变换．解：32312123213216223),,(xxxxxxxxxxxf322322232184)(xxxxxxx23232232112)4()(xxxxxx令233223211,4,xyxxyxxxy（*）即得23222132112),,(yyyxxxf由（*）式解出321,,xxx，即得33322321143yxyyxyyyx或写成321321100410311yyyxxx例4用配方法将二次型3231212322213212243),,(xxxxxxxxxxxxf化为标准型，并求出所作的满秩变换．解：3231212322213212243),,(xxxxxxxxxxxxf53223222321223)2(xxxxxxx23232232137)31(3)2(xxxxxx令333223211,31,2xyxxyxxxy（*）即得232221321373),,(yyyxxxf由（*）式解出321,,xxx，即得33322321131312yxyyxyyyx或写成32132110031103121yyyxxx