第16章 平行四边形的认识 小结与复习-

章平行四边形的认识小结与复习教学目标知识与技能：掌握平行四边形、特殊四边形、梯形等的性质．过程与方法：通过梳理本单元内容，明确知识系，提高识图意识，掌握合情推理能力．情感态度与价值观：培养良好的探索意识，发展几何中的语言，体会几何学的实际价值．重点、难点重点：1．平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系．2．梯形与等根梯形的特征．难点：发展学生进一步的推理能力和解决问题的能力．教学设计教学过程一、回顾1．教师采用任意三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的纸片，分别绕着一边中点、底边的中点、斜边中点、斜边的中点旋转180°，让学生观察原来的三角形与旋转后的三角形分别组成什么样的图形？学生回答：平行四边形、菱形、矩形、正方形．让学生根据上述要求也剪出任意三角形、等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形的纸片，绕中点旋转180°后的图形与原来图形合并成怎样的图形？与教师演示的是否相同，学生回答：一样．2．教师提问：根据上面操作你发现了什么？生答：平行四边形、菱形、矩形、正方形，都是中心对称图形．师：还发现了什么？生答：平行四边形的两组对边分别相等，两组对角分别相等．对角线互相平分．菱形、矩形、正方形除具备上述性质外，由于它们采用的原三角形不同，所以又有许多特殊的性质．菱形：各边都相同，对角线互相垂直平分且平分各内角．矩形：各内角都是直角，对角线相等．正方形：各边、各角都相等，对角线垂直、平分、平分各内角且相等．同时还可以说：菱形、矩形和正方形也都是轴对称图形．那么梯形与等腰梯形有哪些性质呢？这里应着重对等腰梯形的性质进行研究．学生答：（1）等腰梯形同一底边上的两个内角相等．（2）等腰梯形的对角线相等．（3）等腰梯形是轴对称图形．．在学生回答之后，让学习中等的学生上来在黑板上完成下表的填空：边角对角线对称性平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形4．弄清四边形与特殊四边形之间的关系．教师出示活动的平行四边形木框,如图所示．（1）当∠α从一般的角线成为直角时，这个时候四边形ABCD是怎样的图形？生答：是平行四边形同时也是矩形．（2）当CD在另一组对边的轨道内平移，∠α还是一般角．当AD=AB（DC∥AB）时，这时四边形ABCD是怎样的图形？生答：是平行四边形同时也是菱形．（3）当∠α=90°，AB=AD时，这时ABCD是怎样的图形？生答：是正方形．综上所述我们已经很清楚地发现四边形与特殊四边形之间的关系与彼此之间的联系．教师让学生思考：平行四边形与梯形的联系与区别后．展示下图，并练习，将相应的条件填在相应的箭头上．展示下图，让学生在圆圈内，填入相应的图形名称．二、结合范例，分析理解例1从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线，如果这两条垂线间的夹角为°，求这平行四边形各内角的度数．学生思考这个问题，老师提示学生画图后再思考．老师：要求平行四边形各内角的度数，就要知道内角与这55°角之间的关系．究竟哪一个角与它关系最紧密呢？学生答：∠C，那么∠C与∠EAF有何关系？当∠C的度数得到以后，求出∠B或∠D就容易了．解：连AC．即∠1+∠2+∠3+∠4+180°=360°．而∠1+∠2=75，故∠3+∠4=105°．即∠BCD=105°．由于ABCD是平行四边形．所以∠BAD=∠BCD=105°，又∠B+∠BCD=180°，即∠B=75°，那么∠D=75°．例2如图所示，正方形的对角线长为10cm，求正方形的面积．学生画图并思考．老师提出问题：（1）要求正方形的面积，常见的方法是什么？生答：求出它的边长，即可得到它的面积．（2）这里知道它的对角线，能不能由对角线求边呢？老师提出：目前的知识还无法求得．（3）要求正方形的面积，除了上述方法之外，还有没有别的方法？生答：正方形被两对角线分成四块面积相等的小三角形，只要求出这小三角形的面积，正方形的面积就可获得．由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，所以这个三角形的面积就可以知道．解：由于ABCD是正方形．即OA=OB=OC=OD=5cm，AC⊥BD，那么S正方形=S△AOB+S△AOD+S△BOC+S△OCD=12×5×5+12×5×5+12×5×5+12×5×5=50（cm2）．例3如图所示，矩形两条对角线的交点为60°，一条对角线与短边之和为12cm．求对角线和较短边的长．学生通过正确画图并思考．教师提出问题：3421FEDCBA60ODCBA（1）从已知条件，你发现图中有哪些等线段？（2）要求对角线和较短边的长，就要从中发现它们之间的数量关系，由已知得AB+AC=12cm，那么AB与CA还有其他关系吗？生答：AC=2AB．这样AC和AB的长就能得到．解：由于ABCD是矩形．所以AO=OC=OB=OD．又∠AOB=60°，所以△ABO为等边三角形．即AB=AO=OB=OC．故AB=12AC．由于AB+AC=12cm．即3AB=12cm，故AB=4cm，AC=8cm．因此这个矩形的对角线为8cm，较短边为4cm．三、作业布置1．课本P114复习题第1，2，3，4题．2．选用课时作业设计．课时作业设计1．从菱形的一个钝角顶点向对边引垂线，且垂线平分对边．求：（1）求菱形的各角的度数；（2）如果菱形的周长为20cm，求菱形的较短对角线的长．2．平行四边形ABCD的周长为30cm，对角线AC交BD于O，△AOB的周长比△BOC的周长短3cm，求这个平行四边形的边长．3．在ABCD中P为AC上一点，过P的EF∥AB交AD于E，交BC于F，过P的HG∥AD交AB于H，DC于G，若四边形DGPE的面积为9，求四边形HPFB的面积．．如图所示，M、N分别为ABCD的AD和BC上任一点，P、Q分别是BM和MC的中点，若ABCD的面积为8cm2，求四边形MPNQ的面积．5．如图所示，在ABCD中，M在AD上，N在AB上，且BM=DN，试说明CG平分∠BGD．6．如图16-4-9所示，正方形EFGH的对角线交点A，就是正方形ABCD的顶点，若HA=8，求图中两正方形公共部分四边形AMHN的面积．NMGHFEDCBA答案:1．（1）设菱形ABCD的钝角顶点A作BC的垂线AE平分BC，即AE是BC的垂直平分线，那么AC=AB，由于AB=BC，则△ABC为等边三角形，那么∠B=60°，所以∠BAD=120°，∠D=60°，∠C=120°（2）5cm2．根据平行四边形性质：AB=CD，BC=AD，AO=CO，BO=DO，又AB+OA+OB-BC-OB-OC=3cm，AB+BC=15cm，即39156ABBCcmABcmABBCcmBCcm解得，那么这四边形的各边长分别为9cm，6cm，9cm，6cm．3．由于ABCD为平行四边形，即S△ACD=S△ACB，由于EG∥AD，EF∥AB，即AEPH和GPFC都是平行四边形，那么S△APE=S△APH，S△GPC=S△PCF，即S四边形HPFB=S四边形DEFG=9．4．由于M为ABCD的AD上任一点，所以S△MBC=12SABCD=12×8cm2=4cm2，中点，所以S△MPN=12S△BMN，由于Q为MC的中点，所以S△MNQ=12S△MNC，则S△MPN+S△MQN=12S△BMC=12×4cm2=2cm2，由于S四边形MPNQ=S△MPN+S△MQN，即S四边形MPNQ=2cm2．5．连MC、NC由于M、N在ABCD的边AD和AB上，所以S△BMC=12SABCD，S△NCD=12SABCD，即S△BMC=S△NCD，作CQ⊥ND于Q，CP⊥BM于P，即12CQ·ND=12CP·BM，又ND=BM，所以CQ=CP，那么C到∠BGD的两边等距离，故CG平分∠BGD．6．把△AMH绕着A按逆时针方向旋转90°后必与△ANG重合，即S四边形AMHN=S△AHG，同时S△AHG=14S正方形EFGH=12×8×8=32，故图中两正方形公共部分的面积为32．