第8章第9节圆锥曲线的综合问题

2009~2013年高考真题备选题库第8章平面解析几何第9节圆锥曲线的综合问题考点直线与圆锥曲线的位置关系1．（2013安徽，5分）已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，圆的性质，考查考生的转化与化归能力．法一：设直线y＝a与y轴交于点M，抛物线y＝x2上要存在C点，只要以|AB|为直径的圆与抛物线y＝x2有交点即可，也就是使|AM|≤|MO|，即a≤a(a0)，所以a≥1.法二：易知a0，设C(m，m2)，由已知可令A(a，a)，B(－a，a)，则AC＝(m－a，m2－a)，BC＝(m＋a，m2－a)，因为AC⊥BC，所以m2－a＋m4－2am2＋a2＝0，可得(m2－a)(m2＋1－a)＝0.因为由题易知m2≠a，所以m2＝a－1≥0，故a∈[1，＋∞)．答案：[1，＋∞)2．（2013浙江，4分）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点．若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．解析：本题考查抛物线方程、性质，直线与抛物线的位置关系，考查数形结合思想及运算求解能力．法一：注意到|FQ|＝2，正好是抛物线通径的一半，所以点Q为通径的一个端点，其坐标为(1，±2)，这时A，B，Q三点重合，直线l的斜率为±1.法二：令直线l的方程为x＝ty－1，由x＝ty－1，y2＝4x，得y2－4ty＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝4，x1＋x2＝4t2－2，所以xQ＝2t2－1，yQ＝2t，|FQ|2＝(xQ－1)2＋y2Q＝4，代入解得，t＝±1或t＝0(舍去)，即直线l的斜率为±1.答案：±13．（2013新课标全国Ⅱ，12分）平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：x2a2＋y2b2＝1(ab0)右焦点的直线x＋y－3＝0交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．解：本题考查用待定系数法求椭圆方程以及直线与椭圆位置关系的问题，考查利用函数思想求最值，体现对考生综合素质特别是对考生分析问题、解决问题以及化归与转化能力的考查．(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，y2－y1x2－x1＝－1，由此可得b2x2＋x1a2y2＋y1＝－y2－y1x2－x1＝1.因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y0x0＝12，所以a2＝2b2.又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3.因此a2＝6，b2＝3.所以M的方程为x26＋y23＝1.(2)由x＋y－3＝0，x26＋y23＝1，解得x＝433，y＝－33，或x＝0，y＝3.因此|AB|＝463.由题意可设直线CD的方程为y＝x＋n－533＜n＜3，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．由y＝x＋n，x26＋y23＝1得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.于是x3,4＝－2n±29－n23.因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝2|x4－x3|＝439－n2.由已知，四边形ACBD的面积S＝12|CD|·|AB|＝8699－n2.当n＝0时，S取得最大值，最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.4．（2013浙江，15分）如图，点P(0，－1)是椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程；(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．解：本题考查椭圆的几何性质，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．(1)由题意得b＝1，a＝2.所以椭圆C1的方程为x24＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝1k2＋1，所以|AB|＝24－d2＝24k2＋3k2＋1.又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.由x＋ky＋k＝0，x2＋4y2＝4，消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－8k4＋k2.所以|PD|＝8k2＋14＋k2.设△ABD的面积为S，则S＝12|AB|·|PD|＝84k2＋34＋k2，所以S＝324k2＋3＋134k2＋3≤3224k2＋3·134k2＋3＝161313，当且仅当k＝±102时取等号．所以所求直线l1的方程为y＝±102x－1.5．（2013江西，13分）如图，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)经过点P(1，32)，离心率e＝12，直线l的方程为x＝4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：本题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线与椭圆的位置关系等，旨在考查考生综合应用知识的能力．(1)由P1，32在椭圆上得，1a2＋94b2＝1.①依题设知a＝2c，则b2＝3c2.②②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.故椭圆C的方程为x24＋y23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)．③代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝8k24k2＋3，x1x2＝4k2－34k2＋3.④在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4,3k)．从而k1＝y1－32x1－1，k2＝y2－32x2－1，k3＝3k－324－1＝k－12.由于A，F，B三点共线，则有k＝kAF＝kBF，即有y1x1－1＝y2x2－1＝k.所以k1＋k2＝y1－32x1－1＋y2－32x2－1＝y1x1－1＋y2x2－1－321x1－1＋1x2－1＝2k－32·x1＋x2－2x1x2－x1＋x2＋1.⑤④代入⑤得k1＋k2＝2k－32·8k24k2＋3－24k2－34k2＋3－8k24k2＋3＋1＝2k－1，又k3＝k－12，所以k1＋k2＝2k3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B(x0，y0)(x0≠1)，则直线FB的方程为y＝y0x0－1(x－1)，令x＝4，求得M4，3y0x0－1，从而直线PM的斜率为k3＝2y0－x0＋12x0－1，联立y＝y0x0－1x－1，x24＋y23＝1，得A5x0－82x0－5，3y02x0－5，则直线PA的斜率为k1＝2y0－2x0＋52x0－1，直线PB的斜率为k2＝2y0－32x0－1，所以k1＋k2＝2y0－2x0＋52x0－1＋2y0－32x0－1＝2y0－x0＋1x0－1＝2k3，故存在常数λ＝2符合题意．6．（2013福建，13分）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0)，点C的坐标为(0,10)．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi交于点Pi(i∈N*,1≤i≤9)．(1)求证：点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；(2)过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4∶1，求直线l的方程．解：本小题主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想．法一：(1)依题意，过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝i10x.设Pi的坐标为(x，y)，由x＝i，y＝i10x，得y＝110x2，即x2＝10y.所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.(2)依题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋10.由y＝kx＋10，x2＝10y，得x2－10kx－100＝0，此时Δ＝100k2＋4000，直线l与抛物线E恒有两个不同的交点M，N.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝10k，①x1·x2＝－100.②因为S△OCM＝4S△OCN，所以|x1|＝4|x2|.又x1·x20，所以x1＝－4x2，分别代入①和②，得－3x2＝10k，－4x22＝－100，解得k＝±32.所以直线l的方程为y＝±32x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x＋2y－20＝0.法二：(1)点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在抛物线E：x2＝10y上．证明如下：过Ai(i∈N*,1≤i≤9)且与x轴垂直的直线的方程为x＝i，Bi的坐标为(10，i)，所以直线OBi的方程为y＝i10x.由x＝i，y＝i10x，解得Pi的坐标为i，i210.因为点Pi的坐标都满足方程x2＝10y，所以点Pi(i∈N*,1≤i≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E的方程为x2＝10y.(2)同法一．7．（2012辽宁，5分）已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为()A．1B．3C．－4D．－8解析：因为P，Q两点的横坐标分别为4，－2，且P，Q两点都在抛物线y＝12x2上，所以P(4,8)，Q(－2,2)．因为y′＝x，所以kPA＝4，kQA＝－2，则直线PA，QA的方程联立得y－8＝4x－4y－2＝－2x＋2，即y＝4x－8y＝－2x－2，可得A点坐标为(1，－4)．答案：C8．（2012北京，5分）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．解析：直线l的方程为y＝3(x－1)，即x＝33y＋1，代入抛物线方程得y2－433y－4＝0，解得yA＝433＋163＋162＝23(yB＜0，舍去)，故△OAF的面积为12×1×23＝3.答案：39．(2009·宁夏、海南，5分)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．解析：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，∴p2＝1，抛物线方程为y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4，y21＝4x1①y22＝4x2②①－②得y21－y22＝4(x1－x2)，∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴y1－y2x1－x2＝1，∴直线l的斜率为1，且过点(2,2)，∴直线方程为y－2＝x－2，∴x－y＝0.答案：x－y＝010．（2012新课标全国，12分）设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；(2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．解：(1)由已知