生物统计学十四

因果关系：回归分析平行关系：相关分析四、直线回归的区间估计当直线回归关系显著之后，既可用样本统计数a、b来估计总体参数α、β，又可利用回归方程去估计某一x值对应y总体的平均数和预测单个y值所在的区间。（一）回归截距和回归系数的置信区间)1(22/2xxyaSSxnssxxyaSSxnss2/1asatastaL1astaL2bstbL1bstbL2回归截距a的方差为：回归截距a的标准误和t值为：as总体回归截距a的置信区间为：总体回归系数β的置信区间为：P141例7.5（二）的置信区间和单个y的预测区间由，故的标准误为：条件总体平均数的95%置信区间为：[L1=-t0.05，L2=+t0.05]xy/)(ˆxxbyyyˆxxyxxyxybyySSxxnsxxSSsnsxxsss2/22/2/222ˆ)(1)()(xy/yˆyˆysˆysˆysys2/22/2/2/222xyxxyxyxybyysxxSSsnssxxsss)()(xxySSxxns2/)(11单个y值的标准误为：保证概率为0.95的y的预测区间为：[L1=-t0.05，L2=+t0.05]yˆyˆP142例7.6（三）和单个y观测值置信区间图示首先取若干个等距的x值(x取值愈密，作图愈准确），算得与其相应的、、和、的值；然后再由和算得各x上的L1和L2，并标于图上；最后将各个L1和L2分别连成曲线即可。yˆysˆysystˆ0.05yst0.05ystyˆˆ0.05ystyˆ0.05xy/试制作例1资料的y估计值包括和y在内有95%可靠度的置信区间图。表2例1资料的置信区间和y的预测区间的计算yˆXY/ysˆystˆ0.05ysyst0.051L2L(2)(3)(4)(6)(7)(8)[，(1)x的95％置信区间计算y的95％预测区间计算(5)[L1，L2]]3032343637384042444615.613.411.29.07.96.84.62.40.2-2.02.211.751.371.131.091.121.351.722.172.665.24.13.22.72.62.63.24.15.16.310.4,9.3,8.0,6.3,5.3,4.2,1.4,-1.7,-4.9,-8.3,20.817.514.411.710.59.47.86.55.34.33.952.723.533.463.433.463.533.693.924.219.38.88.38.28.18.28.38.79.39.96.3,4.6,2.9,0.8,-0.2,-1.4,-3.7,-6.3,-9.1,-11.9,24.922.219.517.216.015.012.911.19.57.9一代三化螟盛发期估计及其95%置信限画出的图像，依次标出(x，L1)和(x，L2)坐标点，再连接各(x，L1)得线，连接各(x，L2)得线。连接各(x，L2)得线。和所夹的区间即包括在内有95％可靠度的置信区间。称(x，)的连线，(x，)的连线。其所夹的区间即为y的95％的预测区间或预测带。3月下至4月中旬平均温度累积值例1资料的y估计值及其95%置信带yˆCDABABCDXY/1LGH2LEFAB-15-10-5051015202528303234363840424446五、直线回归的应用及注意问题（一）直线回归的应用（二）应用直线回归时的注意问题第三节直线相关一、相关系数和决定系数二、相关系数的假设测验三、相关系数的区间估计四、应用直线相关的注意事项一、相关系数和决定系数（一）相关系数(X，Y)总体没有相关，则落在象限Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的点是均匀分散的，因而正负相消，=0。Nyxyx1))((当(X，Y)总体呈正相关时，落在象限Ⅰ、Ⅲ的点一定比落在象限Ⅱ、Ⅳ的多，故一定为正；同时落在象限Ⅰ、Ⅲ的点所占的比率愈大，此正值也愈大。Nyxyx1)()(当(X，Y)总体呈负相关时，则落在象限Ⅱ、Ⅳ的点一定比落在象限Ⅰ、Ⅲ的为多，故一定为负；且落在象限Ⅱ、Ⅳ的点所占的比率愈大，此负值的绝对值也愈大。Nyxyx1))((的值可用来度量两个变数直线相关的相关程度和性质。但是，x和y的变异程度、所取单位及N的大小都会影响其大小。这些因素的影响是可以消去的。方法就是将离均差转换成以各自的标准差为单位，使成为标准化离差，再以N除之。Nyxyx1))((可定义双变数总体的相关系数为：上式中的已与两个变数的变异程度、单位和N大小都没有关系，是一个不带单位的纯数，因而可用来比较不同双变数总体的相关程度和性质。相关系数是两个变数标准化离差的乘积之和的平均数。NyyxxyxN1122)()())((yyxyxxyx样本的相关系数r因为：在回归分析时分成了两个部分：一部分是离回归平方和Q，另一部分是回归平方和U=(SP)2/SSx。因此，又可有定义：yxSSSSSPyyxxyyxxr22)()())((2)(yySSy2)ˆ(yy2)ˆ(yyyxyxySSSSSPSSSSSPyyyySSUr/)()()ˆ(222r的取值区间是[-1，1]。双变数的相关程度决定于|r|，|r|越接近于1，相关越密切；越接近于0，越可能无相关。r的显著与否还和自由度有关，df越大，受抽样误差的影响越小，r达到显著水平的值就较小。正的r值表示正相关，负的r值表示负相关。而相关系数r的正或负和回归系数b是保持一致。决定系数决定系数(determinationcoefficient)定义为由x不同而引起的y的平方和占y总平方和SSy=的比率；也可定义为由y不同而引起的x的平方和占x总平方和SSx=的比率，其值为：2ˆ)(yyU2)(yy2ˆ)(xxU2)(xxyyxSSbSPSSSSSPr22)(yySSQSSU1所以决定系数即相关系数r的平方值。决定系数和相关系数的区别在于：①除掉|r|=1和0的情况外，r2总是小于|r|。这就可以防止对相关系数所表示的相关程度作夸张的解释。例如，r=0.5，只是说明由x的不同而引起的y变异(或由y的不同而引起的x变异)平方和仅占y总变异(或x总变异)平方和的r2=0.25，即25%，而不是50%。②r是可正可负的，而r2则一律取正值，其取值区间为[0，1]。因此，在相关分析由r的正或负表示相关的性质，由r2的大小表示相关的程度。相关系数和决定系数的计算P146例7.8一些夏季害虫盛发期的早迟和春季温度高低有关。江苏武进连续9年测定3月下旬至4月中旬旬平均温度累积值(x，旬·度)和水稻一代三化螟盛发期(y，以5月10日为0)的关系，得结果于表7.1。试计算其直线回归方程。x累积温y盛发期35.534.131.740.336.840.231.739.244.212169273139-1表7.1累积温和一代三化螟盛发期的关系x2xy2yyxn=9=35.5+34.1+…+44.2=333.7=35.52+34.12+…+44.22=12517.49=12+16+…+(-1)=70=122+162+…+(-1)2=794=(35.5×12)+(34.1×16)+…+[44.2×(-1)]=2436.4首先由表7.1算得回归分析所必须的6个一级数据(即由观察值直接算得的数据)：nxx22)(nyy22)(nyxyxxnxynySSx==12517.49-(333.7)2/9=144.6356=794-(70)2/9=249.55562436.4-(333.7×70)/9=-159.0444333.7/9=37.077870/9=7.7778*SSy=SP=xSSSP/xby因而有：b=-159.0444/144.6356=-1.0996[天/(旬·度)]a==7.7778-(-1.0996×37.0778)=48.5485(天)然后，由一级数据算得5个二级数据：故得表7.1资料的回归方程为：上述方程中回归系数和回归截距的意义为：当3月下旬至4月中旬的积温(x)每提高1旬·度时，一代三化螟的盛发期平均将提早1.1天；若积温为0，则一代三化螟的盛发期将在6月27—28日(x=0时，=48.5；因y是以5月10日为0，故48.5为6月27—28日）。由于x变数的实测区间为[31.7，44.2]，当x＜31.7或＞44.2时，y的变化是否还符合=48.5-1.1x的规律，观察数据中未曾得到任何信息。=48.5485-1.0996xyˆ二、相关系数的假设测验(一)的假设测验测验一个样本相关系数r所来自的总体相关系数是否为0，所作的假设为H0：对HA：≠0。在的总体中抽样，r的分布随样本容量n的不同而不同。r的抽样误差：0021nrsr2当时：或此t值遵循df=n-2的t分布，由之可测验H0：。对于同一资料，线性回归的显著性等价于线性相关的显著性。将上式移项，即可得到自由度和显著水平一定时的临界r值：22tdft0rsrt21rnr20r=P136例7.9三、相关系数的区间估计)11lg(1513.1)11ln(5.0rrrrz)3(1nzzzL1zzL2)1()1(22LLeerP137例7.10四、应用直线相关的注意事项1、直线相关分析时对变量的要求2、相关系数应进行检验3、变量应尽可能多4、正确理解相关系数的含义直线回归与相关的内在关系回归与相关间的内在联系：(1)相关系数是标准化的回归系数回归系数b是有单位的，但若对b作消去单位的标准化处理，即对b中x和y的离均差以各自的标准差sx和sy为单位，则有：222222)()()())(()())((xxxxyyyyxxxxsssyyxxsxxsyysxxxyxxyx所以，有时把相关系数称为标准回归系数。(2)相关系数r是y依x的回归系数by/x和x依y的回归系数bx/y的几何平均数。若对同一资料计算x依y的回归，则有bx/y=SP/SSy，因此rSSSSSPyyxxyyxxyx22)()())((rrSSSSSPSSSPSSSPbbyxyxyxxy22//(3)线性回归方程也可用相关系数表示因为xyxyyxxxyssrSSSSSSSSSPSSSPb/所以由(9·4)表示的回归方程可改写成：)(ˆxxssryyxy(4)线性回归和离回归的平方和也可用相关系数表示。yyyxxSSrSSSSSSSPSSSPU222yySSrUSSQ)(12直线回归和相关的应用要点(1)回归和相关分析要有学科专业知识作指导。(2)要严格控制研究对象(X和Y)以外的有关因素，即要在X和Y的变化过程中尽量使其它因素保持稳定一致。(3)直线回归和相关分析结果不显著，并不意味着X和Y没有关系，而只说明X和Y没有显著的线性关系，它并不能排除两变数间存在曲线关系的可能性。(4)一个显著的r或b并不代表X和Y的关系就一定是线性的，因为它并不排斥能够更好地描述X和Y的各种曲线的存在。(5)在X和Y的一定区间内，用线性关系作近似描述是允许的，它的精确度至少要比仅用描述y变数有显著提高。(6)一个显著的相关或回归并不一定具有实践上的预测意义。(7)为了提高回归和相关分析的准确性，两个变数的样本容量n(观察值对数)要尽可能大一些，至少应有5对以上。