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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 第一章三角函数单元测试(人教A版必修4)
1第一章测试(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中,正确的是()A.第二象限的角是钝角B.第三象限的角必大于第二象限的角C.-831°是第二象限角D.-95°20′,984°40′,264°40′是终边相同的角解析A、B均错,-831°=-720°-111°是第三象限的角,C错,∴选D.答案D2.若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tanaπ6的值为()A.0B.33C.1D.3解析由题意,得3a=9,得a=2,∴tanaπ6=tan2π6=tanπ3=3.答案D3.若|cosθ|=cosθ,|tanθ|=-tanθ,则θ2的终边在()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、三象限或x轴上D.第二、四象限或x轴上2解析由题意知,cosθ≥0,tanθ≤0,所以θ在x轴上或在第四象限,故θ2在第二、四象限或在x轴上.答案D4.如果函数f(x)=sin(πx+θ)(0θ2π)的最小正周期是T,且当x=2时取得最大值,那么()A.T=2,θ=π2B.T=1,θ=πC.T=2,θ=πD.T=1,θ=π2解析由题意知T=2ππ=2,又当x=2时,有2π+θ=2kπ+π2(k∈Z),∴θ=π2.答案A5.若sinπ2-x=-32,且πx2π,则x等于()A.43πB.76πC.53πD.116π解析sinπ2-x=cosx=-32,又x∈(π,2π),∴x=7π6.答案B6.已知a是实数,而函数f(x)=1+asinax的图象不可能是()3解析三角函数的周期为T=2π|a|,当振幅大于1时,∵|a|1,∴T2π.∵D的振幅大于1,但周期反而大于2π,∴D不符合要求.答案D7.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ2π)个单位长度后,得到y=sinx-π6的图象,则φ=()A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析当φ=11π6时,则y=sinx+11π6=sinx+2π-π6=sinx-π6.答案D8.若tanθ=2,则2sinθ-cosθsinθ+2cosθ的值为()A.0B.1C.34D.544解析∵tanθ=2,∴2sinθ-cosθsinθ+2cosθ=2tanθ-1tanθ+2=2×2-12+2=34.答案C9.函数f(x)=tanx1+cosx的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数也不是偶函数解析要使f(x)有意义,必须使x≠kπ+π2,1+cosx≠0,即x≠kπ+π2,且x≠(2k+1)π(k∈Z),∴函数f(x)的定义域关于原点对称.又∵f(-x)=tan-x1+cos-x=-tanx1+cosx=-f(x),∴f(x)=tanx1+cosx是奇函数.答案A10.函数f(x)=x-cosx在(0,+∞)内()A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点解析在同一坐标系里分别作出y=x和y=cosx的图象易知,f(x)=0有且仅有一个零点.答案B511.已知A为锐角,lg(1+cosA)=m,lg11-cosA=n,则lgsinA的值是()A.m+1nB.m-nC.12m+1nD.12(m-n)解析∵m-n=lg(1+cosA)-lg11-cosA=lg(1+cosA)+lg(1-cosA)=lg(1+cosA)(1-cosA)=lgsin2A=2lgsinA,∴lgsinA=12(m-n),故选D.答案D12.函数f(x)=3sin2x-π3的图象为C,①图象C关于直线x=1112π对称;②函数f(x)在区间-π12,5π12内是增函数;③由y=3sin2x的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C,其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3解析①把x=1112π代入f(x)知,f1112π=3sin2×11π12-π3=3sin3π2=-3.∴x=1112π是函数f(x)的对称轴,∴①正确.6②由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,得增区间为kπ-π12,kπ+5π12(k∈Z).令k=0得增区间-π12,5π12,∴②正确.③依题意知y=3sin2x-π3=3sin2x-2π3,∴③不正确.应选C.答案C二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知sinα+π2=13,α∈-π2,0,则tanα=________.解析sinα+π2=cosα=13,∵α∈-π2,0,∴sinα=-223,∴tanα=sinαcosα=-22.答案-2214.函数y=3cosx(0≤x≤π)的图象与直线y=-3及y轴围成的图形的面积为________.解析如图,由于y=3cosx(0≤x≤π)的图象关于点π2,0对称,所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点π2,0成中心对称图形,故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD的面积的一半,即12×π×6=3π.7答案3π15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω0)的图象如图所示,则ω=________.解析由图知,T4=2π3-π3=π3,∴T=43π.又T=2πω=43π,∴ω=32.答案3216.给出下列命题:①函数y=cos23x+π2是奇函数;②存在实数x,使sinx+cosx=2;③若α,β是第一象限角且αβ,则tanαtanβ;④x=π8是函数y=sin2x+5π4的一条对称轴;⑤函数y=sin2x+π3的图象关于点π12,0成中心对称.其中正确命题的序号为__________.解析①y=cos23x+π2=-sin23x是奇函数.②因为sinx,cosx不能同时取最大值1,所以不存在实数x使sinx+cosx=2成立.③α=π3,β=13π6,则tanα=3,tanβ=tan2π+π6=tanπ6=33,tanαtanβ,∴③不成立.8④把x=π8代入函数y=sin2x+5π4,得y=-1.∴x=π8是函数图象的一条对称轴.⑤因为y=sin2x+π3图象的对称中心在图象上,而π12,0不在图象上,所以⑤不成立.答案①④三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知方程sin(α-3π)=2cos(α-4π),求sinπ-α+5cos2π-α2sin3π2-α-sin-α的值.解∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α).∴-sin(π-α)=2cos(-α).∴sinα=-2cosα.可知cosα≠0.∴原式=sinα+5cosα-2cosα+sinα=-2cosα+5cosα-2cosα-2cosα=3cosα-4cosα=-34.18.(12分)在△ABC中,sinA+cosA=22,求tanA的值.解∵sinA+cosA=22,①两边平方,得2sinAcosA=-12,9从而知cosA0,∴∠A∈π2,π.∴sinA-cosA=sinA+cosA2-4sinAcosA=12+1=62.②由①②,得sinA=6+24,cosA=-6+24,∴tanA=sinAcosA=-2-3.19.(12分)已知f(x)=sin2x+π6+32,x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)的单调减区间;(3)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样变换得到?解(1)T=2π2=π.(2)由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2,k∈Z,得kπ+π6≤x≤kπ+2π3,k∈Z.所以所求的单调减区间为kπ+π6,kπ+2π3(k∈Z).(3)把y=sin2x的图象上所有点向左平移π12个单位,再向上平移32个单位,即得函数f(x)=sin2x+π6+32的图象.20.(12分)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A0,ω0)的图象过点Pπ12,0,图象与P点最近的一个最高点坐标为π3,5.10(1)求函数解析式;(2)求函数的最大值,并写出相应的x的值;(3)求使y≤0时,x的取值范围.解(1)由题意知T4=π3-π12=π4,∴T=π.∴ω=2πT=2,由ω·π12+φ=0,得φ=-π6,又A=5,∴y=5sin2x-π6.(2)函数的最大值为5,此时2x-π6=2kπ+π2(k∈Z).∴x=kπ+π3(k∈Z).(3)∵5sin2x-π6≤0,∴2kπ-π≤2x-π6≤2kπ(k∈Z).∴kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z).21.(12分)已知cosπ2-α=2cos32π+β,3sin3π2-α=-2sinπ2+β,且0απ,0βπ,求α,β的值.解cosπ2-α=2cos32π+β,即sinα=2sinβ①3sin32π-α=-2sinπ2+β,即3cosα=2cosβ②①2+②2得2=sin2α+3cos2α.又sin2α+cos2α=1,11∴cos2α=12.∴cosα=±22.又∵α∈(0,π),∴α=π4,或α=34π.(1)当α=π4时,cosα=22,cosβ=32cosα=32,又β∈(0,π),∴β=π6.(2)当α=3π4时,cosα=-22,cosβ=32cosα=-32,又β∈(0,π),∴β=5π6.综上,α=π4,β=π6,或α=3π4,β=5π6.22.(12分)已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,3],其中θ∈-π2,π2.(1)当θ=-π6时,求函数的最大值和最小值;(2)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数).解(1)当θ=-π6时,f(x)=x2-233x-1=x-332-43.∵x∈[-1,3],∴当x=33时,f(x)的最小值为-43,12当x=-1时,f(x)的最大值为233.(2)f(x)=(x+tanθ)2-1-tan2θ是关于x的二次函数.它的图象的对称轴为x=-tanθ.∵y=f(x)在区间[-1,3]上是单调函数,∴-tanθ≤-1,或-tanθ≥3,即tanθ≥1,或tanθ≤-3.∵θ∈-π2,π2,∴θ的取值范围是-π2,-π3∪π4,π2.
本文标题:第一章三角函数单元测试(人教A版必修4)
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