2016-2017东城高三第一学期期末数学试题及答案(理科)

输出k结束开始0,0Sk1SSk2kk1112S否是东城区2016-2017学年度第一学期期末教学统一检测高三数学（理科）本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。）（1）已知集合{|(1)(3)0}Axxx，{|24}Bxx，则AB（A）{|13}xx（B）{|14}xx（C）{|23}xx（D）{|24}xx（2）抛物线22yx的准线方程是（A）1y（B）12y（C）1x（D）12x（3）“1k”是“直线320kxy与圆229xy相切”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的k值为（A）6（B）8（C）10（D）12（5）已知,xyR，且0xy，则（A）tantan0xy（B）sinsin0xxyy（C）lnln0xy（D）220xy正（主）视图112俯视图2侧（左）视图5101504008001200时间（天）理想实际数量（个）（6）已知()fx是定义在R上的奇函数，且在[0,)上是增函数，则(1)0fx的解集为（A）(,1]（B）(,1]（C）[1,)（D）[1,)（7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）23（B）43（C）2（D）83（8）数列{}na表示第n天午时某种细菌的数量．细菌在理想条件下第n天的日增长率0.6nr(*1nnnnaarnaN，)．当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率nr会发生变化．下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律．那么，对这种细菌在实际条件下日增长率nr的规律描述正确的是5101500.20.40.6时间(天)（B）5101500.20.40.6（C）日增长率时间(天)5101500.20.40.6时间（天）日增长率（D）5101500.20.40.6时间（天）（A）日增长率第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）若复数(2i)(2i)a是纯虚数，则实数a．（10）若,xy满足20,0,340,xxyxy则2xy的最大值为．（11）若点(2,0)P到双曲线2221(0)xyaa的一条渐近线的距离为1，则a_______．（12）在△ABC中，若2AB，3AC，60A，则BC；若ADBC，则AD_______．（13）在△ABC所在平面内一点P，满足2155APABAC，延长BP交AC于点D，若ADAC，则_______．（14）关于x的方程()()gxttR的实根个数记为()ft．若()lngxx，则()ft=_______；若2,0,()2,0,xxgxxaxax()aR，存在t使得(2)()ftft成立，则a的取值范围是_________．日增长率三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。）（15）（本小题13分）已知{}na是等比数列，满足13a，424a，数列{}nnab是首项为4，公差为1的等差数列．（Ⅰ）求数列{}na和{}nb的通项公式；（Ⅱ）求数列{}nb的前n项和．（16）（本小题13分）已知函数()2sin(2)(||)2fxx部分图象如图所示．（Ⅰ）求()fx的最小正周期及图中0x的值；（Ⅱ）求()fx在区间[0,]2上的最大值和最小值．oxy10x2EPCABD（17）（本小题14分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD平面ABCD，1BC，2AB，2PCPD，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BED；（Ⅱ）求二面角APCD的余弦值；（Ⅲ）在棱PC上是否存在点M，使得BMAC？若存在，求PMPC的值；若不存在，说明理由．（18）（本小题13分）设函数()ln(1)()1axfxxaxR．（Ⅰ）若(0)f为()fx的极小值，求a的值；（Ⅱ）若()0fx对(0,)x恒成立，求a的最大值．（19）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab经过点(2,0)M，离心率为12．,AB是椭圆C上两点，且直线,OAOB的斜率之积为34，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若射线OA上的点P满足||3||POOA，且PB与椭圆交于点Q，求||||BPBQ的值．（20）（本小题13分）已知集合12{(,,,)|{1,1}(1,2,,)}nniAxxxxinLLL．,nxyA，12(,)nxxxx,,L，12(,,,)nyyyyL，其中{1,1}iixy,(1,2,,)in．定义1122nnxyxyxyxyeL．若0xye，则称x与y正交．（Ⅰ）若(1,1,1,1)x，写出4A中与x正交的所有元素；（Ⅱ）令{|,}nBxyxyAe．若mB，证明：mn为偶数；（Ⅲ）若nAA，且A中任意两个元素均正交，分别求出8,14n时，A中最多可以有多少个元素．东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学参考答案及评分标准（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C（7）B（8）B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）1（10）6（11）3（12）7，7213（13）13（14）1，(1,)三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）设等比数列na的公比为q．由题意，得3418aqa，2q．所以11132nnnaaq(1,2,)n．……………3分又数列{}nnab是首项为4，公差为1的等差数列，所以4(1)1nnabn．从而1(3)32nnbn(1,2,)n．……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知1(3)32nnbn(1,2,)n数列{3}n的前n项和为(7)2nn．……………9分数列1{32}n的前n项和为3(12)32312nn．……………12分所以，数列{}nb的前n项和为(7)3232nnn．………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意22T，T．…………2分因为点(0,1)在()2sin(2)fxx图象上，所以2sin(20)=1．又因为||2，MGFEPOCABDyzx所以6．…………4分所以076x．………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知()2sin(2)6fxx，因为02x，所以2666x．当262x，即6x时，()fx取得最大值2；当266x，即2x时，()fx取得最小值1．………13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）设AC与BD的交点为F，连结EF．因为ABCD为矩形，所以F为AC的中点．在△PAC中，由已知E为PA中点，所以EF∥PC．又EF平面BED，PC平面BED，所以PC∥平面BED．……………………………5分（Ⅱ）取CD中点O，连结PO．因为△PCD是等腰三角形，O为CD的中点，所以POCD．又因为平面PCD平面ABCD，PO平面PCD，所以PO平面ABCD．取AB中点G，连结OG，由题设知四边形ABCD为矩形，所以OFCD．所以POOG．…………………1分如图建立空间直角坐标系Oxyz，则(1,1,0)A，(0,1,0)C，(0,0,1)P，(0,1,0)D，(1,1,0)B，(0,0,0)O，(1,0,0)G．(1,2,0)AC，(0,1,1)PC．设平面PAC的法向量为(,,)xyzn，则0,0,ACPCnn，即20,0.xyyz令1z，则1y，2x．所以(2,1,1)n．平面PCD的法向量为(1,0,0)OG．设,OGn的夹角为，所以6cos3．由图可知二面角APCD为锐角，所以二面角APCB的余弦值为63．…………………………10分（Ⅲ）设M是棱PC上一点，则存在[0,1]使得PMPC．因此点(0,,1)M，(1,1,1)BM，(1,2,0)AC．由BM0AC，即12．因为1[0,1]2，所以在棱PC上存在点M，使得BMAC．此时，12PMPC．…………………………14分（18）（共14分）解：（Ⅰ）()fx的定义域为(1,)．因为()ln(1)1axfxxx，所以21'()1(1)afxxx．因为(0)f为()fx的极小值，所以'(0)0f，即21001(01)a．所以1a．此时，2'()(1)xfxx．当(1,0)x时，'()0fx，()fx单调递减；当(0,)x时，'()0fx，()fx单调递增．所以()fx在0x处取得极小值，所以1a．……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知当1a时，()fx在[0,)上为单调递增函数，所以()(0)0fxf，所以()0fx对(0,)x恒成立．因此，当1a时，()ln(1)ln(1)011axxfxxxxx，()0fx对(0,)x恒成立．当1a时，221(1)'()1(1)(1)axafxxxx，所以，当(0,1)xa时，'()0fx，因为()fx在[0,1)a上单调递减，所以(1)(0)0faf．所以当1a时，()0fx并非对(0,)x恒成立．综上，a的最大值为1．……………………………13分（19）（共13分）解：（Ⅰ）由题意得222212.acaabc，，解得3b．所以椭圆C的方程为22143xy．……………………………5分（Ⅱ）设112233(,),(,),(,)AxyBxyQxy．因为点P在直线AO上且满足||3||POOA，所以11(3,3)Pxy．因为,,BQP三点共线，所以BPBQ．所以12123232(3,3)(,)xxyyxxyy，123212323(),3().xxxxyyyy解得31231231,31.xxxyyy因为点Q在椭圆C上，所以2233143xy．所以2212123131()()143xxyy．即22222112212122296(1)()()()()1434343xyxyxxyy1，因为,AB在椭圆C上，所以2211143xy，2222143xy．因为直线,OAOB的斜率之积为34，所以121234yyxx，即1212043xxyy．所以2291()1，解得5．所以||||5||BPBQ．……………………………14分（20）（共13分）解：（Ⅰ）4A中所有与x正交的元素为(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)，(1,1,1,1)．………………………3分（Ⅱ）对于mB，存在12(,,,),{1,1}nixxxxxL，12(,,,),{1,1}niyyyyyL；使得xyme．令1,0,iiiiixyxy，，1niik；当iixy时1iixy，当iixy时1iixy.那么1()2niiixyxyknkkn