第一章基本概念

第一章基本概念在这一章中，F是一个任意的（可交换）的域。第1节定义和例子1.1李代数的概念李代数由可作线性变换的向量空间得到，这个被赋予了一个新的运算。这个运算一般是既不能交换也不能结合：[𝑥,𝑦]=𝑥𝑦−𝑦𝑥(这里，这个式子右边的运算是通常意义上的)。它可以抽象描述系统中的一些公理。定义：一个向量空间L定义在F上，具有运算L×L→L，(𝑥,𝑦)⟼[𝑥𝑦]（该运算被称作x,y的括号或者换位子），此时被称作F上的一个李代数，如果满足下面的公理：(L1)这个括号运算是双线性的。(L2)[𝑥𝑥]=0，∀𝑥∈L。(L3)[𝑥[𝑦𝑧]]+[𝑦[𝑥𝑧]]+[𝑧[𝑥𝑦]]=0。(𝑥,𝑦,𝑧∈𝐿)公理(L3)被称为Jacobi恒等式。注意到(L1)(L2)，应用于[𝑥+𝑦,𝑥+𝑦]时体现出了反交换性：(L2’)[𝑥𝑦]=−[𝑦𝑥]。(相反地，如果charF≠2,显然(L2’)也就可以得到(L2)。)我们说F上的两个李代数L，L’是同构的，如果存在一个向量空间的同构映射ϕ：L⟶L‘满足对于∀𝑥,𝑦,𝑧∈L，均有ϕ([𝑥𝑦])=[𝜙(𝑥)𝜙(𝑦)](ϕ被称作李代数的一个同构)。类似的，可以如下定义L的李子代数的概念：L的一个子空间K被成为子代数如果当𝑥,𝑦∈K时，有[𝑥𝑦]∈𝐾。特别的，K在与之相关诱导的运算下是一个李代数。注意，任何L中的非零元x确定了一个一维子代数Fx，由(L2)可知，它上面的乘法是平凡的。在这本书中，我们将仅关注F上基础向量空间是有限维的李代数L。这点常常是已知的假设，除非有特别的说明。然而，我们进一步支出，某些无限维向量空间和F上的结合代数将在表示论中有极其重要的地位。在看具体例子之前，我们同样指出李代数的公理很具有意义。如果，L是仅仅是交换环上的一个加法群，但是我们在此并不深究这个论点。1.2线性李代数如果V是F上一个有限维的向量空间，EndV表示V→V的所有线性变换的集合。作为F上的一个向量空间，EndV具有𝑛2(n为V的维数)，并且EndV与平常的乘积运算相关的环。定义一个新运算[𝑥,𝑦]=𝑥𝑦−𝑦𝑥,称为x,y的括号。在这个运算中，EndV成为了F上的一个李代数：易证公理(L1)(L2)是成立的，而(L3)需要一个简单的计算。为了区别这个新的代数结构与之前结合代数的不同，我们记EndV为𝔤𝔩(𝑉)，称其为一般线性代数（由于他和包含V所有自同态的一般线性群GL(V)紧密相联的。）当V是无限维时，我们同样用记号𝔤𝔩(𝑉)，但并不做深的讨论。李代数𝔤𝔩(𝑉)的任何一个子代数被称为线性李代数。发现矩阵比线性变换的读者会更加倾向于给V确定一组基，因此认为𝔤𝔩(𝑉)是F上n×n矩阵的集合，记为𝔤𝔩(𝑛,𝐹)。这个过程是有意义的，非常方便作对称运算。作为参考，我们写下gl(n，F)的标准基(由矩阵𝑒𝑖𝑗((𝑖,𝑗)处为1，其余为0)组成)的乘法表。既然𝑒𝑖𝑗𝑒𝑘𝑙=𝛿𝑗𝑘𝑒𝑖𝑙，便有(∗)[𝑒𝑖𝑗,𝑒𝑘𝑙]=𝛿𝑗𝑘𝑒𝑖𝑙−𝛿𝑙𝑖𝑒𝑘𝑗注意到，系数全为±1或者是0。特别地，它们全都在素域F中。现在列出一些例子，它们直接关系着我们书中将要发展的理论。它们被分为4个族：𝐴𝑙,𝐵𝑙,𝐶𝑙,𝐷𝑙(𝑙≥1)，并且它们被称为是经典代数(因为相当于某些经典线性李群)。对于𝐵𝑙−𝐷𝑙,我们charF≠2。𝐴𝑙：设dimV=l+1，定义𝔰𝔩(𝑉)或者𝔰𝔩(𝑛,𝐹)为V的自同态对应迹为0的矩阵的集合。(矩阵的迹是指矩阵对角线上元素之和；这与V的基选取是无关的，因此是V的自同态本身的属性)。由于Tr(xy)=Tr(yx)，并且Tr(x+y)=Tr(x)+Tr(y)，则𝔰𝔩(𝑉)是𝔤𝔩(𝑉)的一个子代数，被成为特殊线性代数。由于它与行列式为1的自同态对应的特殊线性群SL(V)紧密联系。那么它的维数是多少呢？一方面，𝔰𝔩(𝑉)是𝔤𝔩(𝑉)的真子代数，因此dim𝔰𝔩(𝑉)≤(𝑙+1)2;另一方面，我们可以看看迹为0的线性无关矩阵的个数。拿出所有𝑒𝑖𝑗(𝑖≠𝑗),一起得到所有ℎ𝑖=𝑒𝑖𝑖−𝑒𝑖+1,𝑖+1(1≤𝑖≤𝑙),得到矩阵总数是𝑙+(𝑙+1)2−(𝑙+1)。我们总监这看作是𝔰𝔩(𝑙+1,𝐹)的标准基。𝐶𝑙：设dimV=2l，有基(𝑣1,𝑣2,…,𝑣2𝑙)。通过矩阵s=(0𝐼𝑙−𝐼𝑙0)，定义V上的一个非退化的斜对称型f(可以看出，维数满足𝑓(𝑣,𝑤)=−𝑓(𝑤,𝑣)的双线性型存在的一个必要条件。)用𝔰𝔭(𝑉)或者𝔰𝔭(2𝑙,𝐹)指代辛代数，它包含V中x所有满足𝑓(𝑥(𝑣),𝑤)=−𝑓(𝑤,𝑥(𝑣))的自同态。读者可以很容易证明𝔰𝔭(𝑉)对于括号元算是封闭的。在矩阵术语中，𝑥=(𝑚𝑛𝑝𝑞)(𝑚,𝑛,𝑝,𝑞∈𝔤𝔩(𝑙,𝐹))是辛的，是由于𝑠𝑥=−𝑥𝑇𝑠(𝑥𝑇是𝑥的转置)：𝑛𝑇=𝑛,𝑝𝑇=𝑝并且𝑚𝑇=−𝑞(最后一个条件保证了Tr(x)=0。)现在很容易计算𝔰𝔭(2𝑙,𝐹)的基了。对所有的l，取对角矩阵𝑒𝑖𝑖−𝑒𝑙+𝑖,𝑙+𝑖(1≤𝑖≤𝑙)，将所有的𝑒𝑖𝑗−𝑒𝑙+𝑗,𝑙+𝑖(1≤𝑖≠𝑗≤𝑙)加起来，总和是𝑙2−𝑙。对于n，我们用矩阵𝑒𝑖,𝑙+𝑖(1≤i≤l)和𝑒𝑖,𝑙+𝑗+𝑒𝑗,𝑙+𝑖(1≤𝑖𝑗≤𝑙),总和是𝑙+12𝑙(𝑙−1)。用同样的方法处理p的位置。综上所述，我们得到𝑑𝑖𝑚𝔰𝔭(2𝑙,𝐹)=2𝑙2+𝑙。𝐵𝑙：设dimV=2l+1,为奇数，并且令f是V上非退化的对称双线性型，对应的矩阵是𝑠=(10000𝐼𝑙0𝐼𝑙0)。取正交代数𝔬(𝑉)，或者𝔬(2𝑙+1,𝐹),它包含V上满足所有满足𝑓(𝑥(𝑣),𝑤)=−𝑓(𝑣,𝑥(𝑤))的自同态(这点与𝐶𝑙相同)。如果将x按s的形式分块，记为x=(𝑎𝑏1𝑏2𝑐1𝑚𝑛𝑐2𝑝𝑞)，然后将条件𝑠𝑥=−𝑥𝑇𝑠转换成一组条件：𝑎=0,𝑐1=−𝑏2𝑇,𝑐2=−𝑏1𝑇,q=−𝑚𝑇,𝑛𝑇=−𝑛,𝑝𝑇=−𝑝(同𝐶𝑙，可以得到Tr(x)=0)。对于一组基，取第l个对角矩阵为𝑒𝑖𝑖−𝑒𝑙+𝑖,𝑙+𝑖(2≤𝑖≤𝑙+1)。分别将如下2l个一行矩阵和一列矩阵加起来：𝑒1,𝑙+𝑖+1−𝑒𝑖+1,1和𝑒1,𝑖+1−𝑒𝑙+𝑖+1,1(1≤𝑖≤𝑙)。对应于𝑞=−𝑚𝑇，(与𝐶𝑙同理)取𝑒𝑖+1,𝑗+1−𝑒𝑗+𝑙+1,𝑖+1(1≤𝑖≠𝑗≤𝑙)。对于n，取𝑒𝑖+1,𝑙+𝑗+1−𝑒𝑗+1,𝑙+𝑖+1(1≤𝑖𝑗≤𝑙)；对于p，取𝑒𝑖+𝑙+1,𝑗+1−𝑒𝑗+𝑙+1,𝑖+1(1≤𝑗𝑖≤𝑙)。基的元素总和是2𝑙2+1(这也是𝐶𝑙的维数)。𝐷𝑙(𝑙≥2)：这里我们得到另一个正交代数。这结构与𝐵𝑙是恒同的，除了dimV=2l外。甚至s有一个更为简洁的形式(0𝐼𝑙𝐼𝑙0)。我们将它作为联系留给读者，并证明𝑑𝑖𝑚𝔬(2𝑙,𝐹)=2𝑙2−𝑙。总结一下，在这一小节中，我们提到了𝔤𝔩(𝑛,𝐹)其他的一些子代数。设𝔱(𝑛,𝐹)是一族上三角矩阵(𝑎𝑖𝑗),𝑎𝑖𝑗=0当ij时。设𝔫(𝑛,𝐹)为严格上三角矩阵(𝑎𝑖𝑗=0当i≥j时)的集合。最后，设𝔬(𝑛,𝐹)是所有对角矩阵的集合。易证，它们对于括号运算是封闭的。注意到𝔱(𝑛,𝐹)=𝔬(𝑛,𝐹)+𝔫(𝑛,𝐹)(向量空间的加法)，且有[𝔬(𝑛,𝐹),𝔫(𝑛,𝐹)]=𝔫(𝑛,𝐹)，因此[𝔱(𝑛,𝐹),𝔱(𝑛,𝐹)=𝔫(𝑛,𝐹)]。1.3李子代数一些线性变换的李代数，自然生成代数的导子。由F-代数(不必满足结合律)，我们仅指出一个F上向量空间𝔄，被赋予了一个双线性运算𝔄×𝔄→𝔄，通常并列表示(除非𝔄是一个李代数，在这种情况下，我们用括号表示)。用𝔄的导子表示一个线性映射δ：𝔄→𝔄，δ满足通常的乘积法则δ(𝑎𝑏)=𝑎𝛿(𝑏)+𝛿(𝑎)𝑏。容易验证，Der𝔄是𝔄上所有导子的集合，是End𝔄的一个向量子空间。读者应该同样证明，两个导子的换位子[𝛿,𝛿`]也是一个导子。所以Der𝔄是𝔤𝔩(𝔄)的一个子代数。既然李代数L在上述中是一个F—代数，则DerL就被定义了。如下生成导子是非常自然的。如果𝑥∈𝐿，𝑦⟼[𝑥𝑦]是L的一个自同态，此处我们表示成adx。事实上，𝑎𝑑𝑥∈𝐷𝑒𝑟𝐿，因为我们利用(L2’)可以重新写出Jacobi恒等式：[x[yz]]=[[xy]z]+[y[zx]]。这些型的导子被称为内部，其他是外部。这当然可以使adx=0即使𝑥≠0。例如：在一维李代数中就会发生。映射𝐿⟼𝐷𝑒𝑟𝐿将x映到adx，被称为L的伴随表示。它在接下来的内容中具有决定性的作用。1.4抽象李代数我们来看些线性李代数的例子。事实上，众所周知，每个(有限维)李代数都与一些线性李代数同构。这里就不给出证明了。然而，这在理论早期阶段是显然的。我们感兴趣的所有情形，正是理论早期阶段的结论。对于研究的抽象李代数，这是合理的。例如，L是F上任意一个有限维向量空间，我们通过令L上任意的x，y，有[x,y]=0。这样具有平凡李乘法的代数，被称为阿贝尔代数(因为在线性表达式中，[x,y]=0意味着x和y可交换。)如果L是任一李代数，有基𝑥1,…,𝑥𝑛。显然，在表达式[𝑥𝑖,𝑥𝑗]=∑𝑎𝑖𝑗𝑘𝑥𝑘𝑛𝑘=1，L中整个乘法表都可由结构常数𝑎𝑖𝑗𝑘代替。由(L2)(L2‘)，那些𝑖≥𝑗的常数可由其他项推到出来。转向这个标记，我们可以从头开始仅从详细的指出一列结构常数来定义一个抽象李代数。自然地，不仅任何一列标量{𝑎𝑖𝑗𝑘}可以定义，而且稍作考虑，这件事情，由(L2)(L3)得到一个“显然”的等式：𝑎𝑖𝑖𝑘=0=𝑎𝑖𝑗𝑘+𝑎𝑗𝑖𝑘；∑(𝑎𝑖𝑗𝑘𝑎𝑘𝑙𝑚+𝑎𝑗𝑙𝑚𝑎𝑘𝑖𝑚+𝑎𝑙𝑖𝑘𝑎𝑘𝑗𝑚)=0.𝑘实际上，我们还没有遇到需要通过人工方法建立李代数的情况。但是，作为抽象观点的一个知识点的应用，我们可以确定所有维数小于等于2的李代数(同构意义下)。一维的情形，仅有单个基向量x，且有乘法[xx]=0。二维时，由L的一组基x,y开始。显然，L域中所有标量乘法都是[xy]的倍数，让y成为x的新的一个独立向量。然后，[xy]=ax(𝑎≠0)。用𝑎−1𝑦替代y。最后，我们得到[xy]=x。抽象的，至少有一个不可交换的L存在。第2节理想和同态2.1理想李代数L上的一个子空间I被称为L的理想，如果𝑥∈𝐿,𝑦∈𝐼时，有[𝑥𝑦]∈𝐼。(由于[𝑥𝑦]=−[𝑦𝑥]，所以这个条件与[𝑦𝑥]∈𝐼等价)理想在李代数理论中具有重要作用，与群论中正规子群及环论中两边理想地位相同。它们都可以作为同态的核。显然，0(子空间仅由零向量组成)和L本身都是L的理想。稍不平凡的例子是中心𝑍(𝐿)={𝑧∈𝐿|[𝑥𝑧]=0,∀𝑥∈𝐿}。注意到L是阿贝代数当且仅当Z(L)=L。另一个重要的例子就是L的导出代数，记作[LL]。它与群交换子群类似，是由所有的换位子[xy]线性组合而成，显然，它是一个理想。可以证明，L是阿贝尔李代数当且仅当[LL]=0。另一方面，对(1.2)中