用多项式逼近连续函数

1教案用多项式逼近连续函数教学内容介绍前苏联数学家Korovkin关于用多项式逼近连续函数的定理（Weierstrass第一逼近定理）的一种证明。指导思想用多项式逼近连续函数，是经典分析学中重要的结果，以往教材中介绍的证明都比较艰深，学生难以理解。我们发现了前苏联数学家Korovkin的一种证明，思想新颖，方法简单，且通过对多项式逼近连续函数的学习，可以使学生进一步理解一致收敛的概念。教学安排先给出多项式一致逼近连续函数的定义：定义10.5.1设函数f(x)在闭区间[a,b]上有定义，如果存在多项式序列｛Pn(x)｝在[a,b]上一致收敛于f(x)，则称f(x)在这闭区间上可以用多项式一致逼近。应用分析语言，“f(x)在[a,b]上可以用多项式一致逼近”可等价表述为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使得｜P(x)-f(x)｜＜ε对一切x∈[a,b]成立。这一定理的证法很多，我们则介绍前苏联数学家Korovkin在1953年给出的证明。定理10.5.1(Weierstrass第一逼近定理)设f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P(x)，使｜P(x)-f(x)｜＜ε对一切x∈[a,b]成立。证不失一般性，我们设[a,b]为[0,1]。设X是[0,1]上连续函数全体构成的集合，Y是多项式全体构成的集合，现定义映射Bn:XYf(t)Bn(f,x)=nkknkknxxnkf0)1(C)(，这里Bn(f,x)表示f∈X在映射Bn作用下的像，它是以x为变量的n次多项式，称为Bernstein多项式。关于映射Bn，直接从定义出发，可证明它具有下述基本性质与基本关系式：(1)Bn是线性映射，即对于任意f,g∈X及α,β∈R，成立Bn(αf+βg,x)=αBn(f,x)+βBn(g,x)；(2)Bn具有单调性，即对于任意f,g∈X，若f(t)≥g(t)（t∈[a,b]）成立，2则Bn(f,x)≥Bn(g,x)对一切x∈[a,b]成立；(3)Bn(1,x)=nkknkknxx0)1(C=[x+(1-x)]n=1；Bn(t,x)=nkknkknxxnk0)1(C=xnkknkknxx1111)1(C=x[x+(1-x)]n-1=x；Bn(t2,x)=nkknkknxxnk022)1(C=nkknkknxxnk111)1(C=nkknkknxxnk211)1(C1+nkknkknxxn111)1(C1=nkknkknxxxnn22222)1(C1+nkknkknxxnx1111)1(C=21xnn+nx=2x+nxx2。综合上述三式，考虑函数(t-s)2在Bn映射下的像，注意s在这里被视为常数，我们得到Bn((t-s)2,x)=Bn(t2,x)-2sBn(t,x)+s2Bn(1,x)=x2+nxx2-2sx+s2=nxx2+(x-s)2。现在我们来证明定理。由于函数f在[0,1]连续，所以必定有界，即存在M＞0，对于一切t∈[0,1]，成立｜f(t)｜≤M；而根据Cantor定理，f在[0,1]一致连续，于是对任意给定的ε＞0，存在δ＞0，对一切t,s∈[0,1]，当｜t-s｜＜δ时，成立｜f(t)-f(s)｜＜2;当｜t-s｜≥δ时，成立｜f(t)-f(s)｜≤2M≤22M(t-s)2。也就是说，对一切t,s∈[0,1],成立-2-22M(t-s)2≤f(t)-f(s)≤2+22M(t-s)2。考虑上式的左端，中间，右端三式(关于t的连续函数)在映射Bn作用下的像(关于x的多项式)，注意f(s)在这里被视为常数，即Bn(f(s),x)=f(s)，并根据上面性质(1)，(2)与(3)，得到对一切x,s∈[0,1]，成立-2-22M[nxx2+(x-s)2]≤Bn(f,x)-f(s)≤2+22M[nxx2+(x-s)2]，令s=x，且注意x(1-x)≤41,即得3nkknkknxfxxnkf0)()1(C≤2+22nM。取N=[2M]，当n＞N时,nkknkknxfxxnkf0)()1(C＜ε对一切x∈[0,1]成立。证毕定理10.5.1还可以表述为：设f在[a,b]连续，则它的Bernstein多项式序列｛Bn(f,x)｝在[a,b]上一致收敛于f。注意点（1）学生容易误认为：只要将f(x)在[a,b]上展开成幂级数f(x)=00)(nnnxxa,x∈[a,b]，然后令其部分和函数（多项式）Sn(x)=nkkkxxa00)(，则f(x)在[a,b]上就可以由多项式序列｛Sn(x)｝一致逼近了。事实上，对任意正整数n，n次多项式Sn(x)只能是在n-1次多项式Sn-1(x)的基础上增加一项an(x-x0)n，而不能更改Sn-1(x)的任何一项。但是这么做需要函数具有很好的分析性质，因为一个函数能展开成幂级数的必要条件之一是它任意次可导，而对仅要求“一个函数可以用多项式一致逼近”来说，这个条件实在是过分强了。究其原因，幂级数的部分和函数序列只是多项式序列的一种特殊情况。如果不是用幂级数，而是用一般的多项式序列来逼近，则对函数的要求就可以弱得多。事实上，Weierstrass首先证明了：闭区间[a,b]上任意连续函数f(x)都可以用多项式一致逼近。（2）定理证明有许多方法，例如还有Bernstein给出的证明等。可以介绍同学自己去阅读相关的资料，对多项式逼近连续函数的不同证明进行比较，扩大知识面，提高学习能力。