第一章数学建模引论

1第一章数学建模引论§1.数学建模的背景及其意义1．1数学建模竞赛的由来在中学，有各种层次（国际、国内、省、市）的数学奥林匹克竞赛.在美国，一个历史悠久、影响很大的全美大学生数学竞赛，称为普特南数学竞赛，它开始于1938年，每年举行一次，于每年的12月的第一个星期六，分两试进行，每试6题，每试各为3小时，主要考核大学生数学基础知识和训练、逻辑推理及证明的能力、思维敏捷性、计算能力等.试题中很少应用题，完全不能用计算机，是闭卷考试的.普特南数学竞赛吸引青年热爱数学而走上数学研究的道路，许多获奖者后来成为数学家.但普特南数学竞赛存在以下问题：（Ⅰ）受训练时间长，获奖队多为名牌大学数学系学生；（Ⅱ）学生对实际问题有兴趣，而对普特南缺乏积极性；（Ⅲ）普特南强调纯粹性、形式方法，缺少应用内容；（Ⅳ）普特南不用计算机，更不能查资料.由于普特南数学竞赛的上述问题及数学教学改革的需要，从1983年起，美国的一些有识之士开始探讨组织一项应用数学方面的竞赛的可能性.经过论证、争论、争取资助的过程，终于在1985年开始了美国第一届数学建模竞赛（MathematicalContestinModeling,简称MCM）.竞赛由美国工业与应用数学学会和美国运筹学会联合主办，从1985年起每年举行一届，在每年的二月下旬或三月初的某个星期五至星期日举行.1988年，北京理工大学的叶其孝教授访问美国时，应当时MCM负责人B.A.Fusaro教授的邀请，访问了他所在学校，询问了数学建模竞赛的事情，商定了中国大学生组队参赛的有关事宜.于是1989年我国的北京大学、清华大学、北京理工大学等三所大学的学生组队开始参加美国MCM，后来发展到每年有几十所大学参赛，且历年来都取得了较好的成绩.在我国不少高校教师也萌发了组织我国自己的大学生数学建模竞赛的想2法.上海市率先于1990年12月7～9日举办了“上海市大学生（数学类）数学模型竞赛”，于1991年6月7～9日举办了“上海市大学生（非数学类）数学模型竞赛”.西安也于1992年4月3～5日举办了“西安市第一届大学生数学模型竞赛”.由中国工业与应用数学学会举办的“1992年全国大学生数学模型联赛”也于1992年11月27～29日举行，全国有74所大学的314个队参加，且决定每年举办一次.原国家教委对这项活动十分重视，决定从1994年起由国家教委(现国家教育部)高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，每年举办一次.1995年至2007年全国各高校参赛的校数及队数年份95年96年97年98年99年00年01年02年03年04年05年06年07年校数259337373400460517529572637724795864969队数123416831874210326573210386144485406688184929985117421．2数学建模竞赛的形式、特点规则与特色全国大学生数学建模竞赛是一种通讯赛，由参赛学校负责拿题、寄题(2002年改为网上发布)，其它院校监督.竞赛是以团体赛进行的，每个参赛队由三个学生组成.每队配一名指导教师，主要负责学生的赛前培训、指导等工作.竞赛地点是学生所在院校，竞赛时间是每年9月下旬的三天时间，共计72小时，即第一天8：00开题，第四天8：00闭题.竞赛时，队内可以互相讨论，查阅资料（包括实地考察），使用计算机及各种软件（特别是数学软件）.试题与答卷数学建模竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方面经过适当简化、加工的实际问题.每年分A、B两题，一般一题为连续问题，一题为离散问题，两题中选做一题.1999年又设大专组（C、D题），专科学生、文科及医农类本科学生可选做C、D题.答案应是一篇完整的论文，包括摘要、问题分析、模型假设和建立、计算方法设计和实现、结果分析和检验、优缺点和改进方向等.3评奖与公布竞赛评奖以假设的合理性、建模的创造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要标准.竞赛充分体现：创新意识、团队精神.体现：学生解决实际问题的能力、数学创造力、计算机使用能力、书面表达写作能力.全国大学生数学建模竞赛获奖名单在全国大学生数学建模竞赛网站上公布.同时由中国数学学会主办的学术刊物《数学的实践与认识》（2002年改为中国工业与应用学会主办的学术刊物《工程数学学报》），每年的第一期为数学建模竞赛的专辑，专门刊登上一年全国大学生数学建模竞赛试题及评述、获奖名单及部分优秀论文.1994年～2007年全国大学生数学建模竞赛题的标题年份A题B题1994年逢山开路锁具装箱1995年一个飞行管理问题天车与冶炼炉的作业调度1996年最优捕鱼策略节水洗衣机1997年零件的参数设计截断切割1998年投资的收益与风险灾情巡视路线1999年自动化车床管理钻井布局煤矸石堆积（C题）钻井布局（D题）2000年DAN序列分类钢管订购与运输飞越北极（C题）空洞探测（D题）2001年血管的三维重组公交车调度基金使用计划（C题）公交车调度（D题）2002年车灯线光源的优化设计彩票中的数学车灯线光源的计算（C题）赛程安排（D题）2003年SARS的传播露天矿生产的车辆安排SARS的传播（C题）抢渡长江（D题）2004年奥运会临时超市网点设计电力市场的输电阻塞管理饮酒驾车（C题）公务员招聘（D题）2005年长江水质的评价和预测DVD在线租赁雨量预报方法的评价（C题）DVD在线租赁（D题）2006年出版社的资源配置艾滋病疗法的评价及疗效的预测易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）42007年中国人口增长预测乘公交，看奥运手机“套餐”优惠几何（C题）体能测试时间安排（D题）1．3数学建模与数学教学的改革80年代初,国内一些重点高校就开始开设了“数学模型”课.如清华大学、复旦大学等.在广东华南理工大学很早就开设了数学模型这门课.由于竞赛活动的开展,近年来国内好些高校都相继开设了数学模型课.教育部98年颁布的高等学校专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课.数学建模是数学发展的需要,随着科学技术的发展与社会的进步,特别是近二十多年来电子计算机技术的发展,数学这一重要的基础科学正迅速在向自然科学和社会科学的多个领域渗透.向着应用数学方向发展,表现出了信息时代数学的强大生命力.从数学自身的发展来看，可以说纯粹数学或数学理论已发展到比较深入、完美的地步.今后一段时期重点应放在应用数学上，即应用数学知识解决实际问题.实际问题的需要推动着数学的发展，亦即由实际问题建立数学模型发展数学理论.我们认为：数学发展的两大动力：外部动力（实际问题的推动）与内部动力（对数学美的追求），而归根到底是实际问题的推动，现在的问题是运用数学理论来解决实际问题.传统的数学教学注重于数学理论、内容的教学，以及严格的逻辑推理的训练.有人形容传统的数学理论教学是“烧（鱼的）中段”，也就是说数学理论主要着眼于数学内部的理论结构及其逻辑关系，并没有着意讨论如何从实际问题中提出数学问题（鱼头）以及如何使用数学理论来解决实际问题（鱼尾）.在数学教学中我们不仅要给学生“烧中段”，而应该给他们“烧全鱼”.作为高等师范院校数学系的学生，学习数学的意义在于：（1）学习数学是数学素质的培养，是数学方法、思维、能力的培养；（2）学习数学是一种知识储备，是为了站得更高，更好地看清中学数学的来龙去脉；（3）学习数学是具有现代科学知识的前提和条件，是进一步自学、进修的基础.一般大学数学教育应包括三方5面的内容：（a）基本知识的传授、基本方法的训练；（b）数学素质的培养、进一步自学能力的培养；（c）应用数学知识解决实际问题的能力（包括计算机的应用能力）的培养.应该说我们过去的数学教学在传授知识方面是比较成功的，但自学能力和解决实际问题的能力的培养上是不够的.现在，开设数学模型课、数学实验课，举行数学建模竞赛就是以“烧头尾”来弥补在数学教学上“烧中段”的不足，使我们的学生不但要学数学，而且要用数学.§2数学模型与数学建模2.1原型与模型原型就是实际对象.模型就是原型的替代物.所谓模型,按北京师范大学刘来福教授的观点：模型就是人们为一定的目的对原型进行的一个抽象.如航空模型、城市交通模型等.模型数学模型如地图、电路图符号模型如某一操作思维模型抽象模型如某一试验装置物理模型如玩具、照片等直观模型形象模型2.2数学模型引例(航行问题)：甲乙两地相距750公里,船从甲到乙顺水航行需30小时,从乙到甲逆水航行需50小时,问船速、水速各为多少？用x、y分别代表船速和水速,可以列出方程此方程组就是航行问题的数学模型.其解为x=20(公里/小时)，y=5(公里/小时).7505075030yxyx6对某一实际问题应用数学语言和方法,通过抽象、简化、假设等对这一实际问题近似刻划所得的数学结构,称为此实际问题的一个数学模型.按本德（E.A.Bender）的观点：数学模型是关于部分现实世界为一定目的而作的抽象、简化的数学结构.例如力学中著名的牛顿第二定律使用公式22dtxdmF来描述受力物体的运动规律就是一个成功的数学模型.模型忽略了物体形状和大小,抓住了物体受力运动的主要因素.又如描述人口tN随时间t自由增长过程的微分方程trNdttdN.它忽略了性别、年龄、社会经济、自然界等因素,揭示了人口成等比级数增长的结论.它是一个描述人口tN随时间t变化的数学模型.数学模型不是新事物,很久以来它就一直伴随在我们身边,使用数学语言、方法去近似刻划一个实际问题的数学结构就是此问题的数学模型.数(自然数、整数、有理数、实数等)、几何图形、导数、积分、数理方程以及广义相对论、规范场等都是非常成功的数学模型.运筹学以及统计学的大部分内容都是关于数学模型的讨论与分析.数学模型是架于实际问题和数学理论之间的桥梁.由实际问题建立了数学模型,然后对数学模型(可以多个模型)建立定义、公理、性质、定理、公式等,并从数学美的角度发展成为数学理论或数学分支.即可以说我们的数学都是这样演变的.欧几里得几何学、概率论、微积分学不正是这样吗？实际问题数学模型数学理论72.3数学建模所谓数学建模是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程.更具体地说,数学建模是指对于现实世界的某一特定系统或特定问题,为了一个特定的目的,运用数学的语言和方法,通过抽象和简化,建立一个近似描述这个系统或问题的数学结构(数学模型),运用适当的数学工具以及计算机技术来解模型,最后将其结果接受实际的检验,并反复修改和完善.数学建模过程流程图为：实际问题抽象、简化、假设确定变量、参数归结数学模型数学地、数值地求解模型估计参数检验模型(用实例或有关知识)符合否？是评价、推广并交付使用产生经济、社会效益关于数学模型的几点说明：①数学模型是对实际问题的抽象、简化而建立的，它只反映了实际问题某一数量规律.既然是一种模型，它就不可能是现实问题的一种拷贝.它忽略了此问题的许多与数量无关的因素，有时还忽略一些次要的数量因素，因此模型的检验是重要的.②不同的实际问题，往往有不同的数学模型.即使对同一实际问题，也可能从不同的角度或根据不同精度的要求，运用不同的数学方法、工具，而归结出不相同的数学模型.另一方面，同一个数学模型又往往可同时用来描述表面上看来毫无关联的几个自然现象或社会规律.例如，抛物型方程fUaUxxt2是热的传导、物质的扩散等实际问题的数学模型；又如导数xxfxxfxfx0000lim是切线斜率、瞬时速度、电流强度、物质否8比热、线密度等实际问题的数学模型.③数学模型的实际问题（即数学建模题）与“数学应用题”有着显著的差别.主要表现在：（Ⅰ）数学建模题的来源领域非常广泛；（Ⅱ）数学建模题需要抽象、简化、假设，由建模者理解、观察、分析的不同，而有不同的数学模型；（Ⅲ）同一数学建模题，作不同的假设、抽象，运用不同的数学工具，所得的结果可以不尽相同，各有千秋.无所谓绝对的“对”与“错”之分，它们都是从一个侧面反映了实际问题.只有通过实