第一章数学建模概论

1第一章数学建模概论随着计算机的不断更新和科学技术的迅猛发展.数学的应用已不再局限于传统的物理领域，而逐步深入到人类活动的各个方面.生物、医学、社会、经济……，各学科、各行业都涌现现出大量的实际课题，急待人们去研究、去解决..从这一意义上讲，可以说数学建模是一切科学研究的基础.没有一个较好的数学模型就不可能得到较好的研究结果，所以，建立一个较好的数学模型乃是解决实际问题的关键之一。1.1数学模型与数学建模原型和模型原型(Prototype)和模型(Model)是一对对偶体.原型是指人们在现实世界里关心、研究或从事生产、管理的实际对象.在科技领域通常使用系统(System)、过程(Process)等词汇，如机械系统、电力系统、生态系统、生命系统、社会经济系统，又如钢铁冶炼过程、导弹飞行过程、化学反应过程、污染扩散过程、生产销售过程、计划决策过程等.本书所述的现实对象、研究对象、实际问题等均指原型.模型则指为了某个特定目的将原型的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物.这里特别强调构造模型的目的性.模型不是原型原封不动的复制品，原型有各个方面和各种层次的特征，而模型只要求反映与某种目的有关的那些方面和层次.一个原型，为了不同的目的可以有许多不同的模型.如放在展览厅里飞机模型应该在外形上逼真，但不一定会飞.而参加航模竞赛的模型飞机要有良好的飞行性能，在外观上不必苛刻.至于在飞机设计、试制过程中用到的数学模型和计算机模拟，则只要求在数量规律上真实反映飞机的飞行动态特性，毫不涉及飞机的实体.所以模型的基本特征是由构造模型的目的决定的.我们已经看到模型有各种形式.按模型替代原型的方式来分类，模型可分为物质模型（形象模型）和理想模型（抽象模型）.前者包括直观模型、物理模型等，后者包括思维模型、符号模型、数学模型等.直观模型指那些供展览用的实物模型，以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，只要追求外观上的逼真.物理模型只要指科技工作者为一定目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律.如波浪水箱中的舰艇模型用来模拟波浪冲击下舰艇的航行性能，风洞中的飞机模型用来试验飞机在气流中的空气动力学特性.有些现象直接用原型研究非常困难，更可借助与这类模型，如2地震模拟装置、核爆炸反应模拟设备等.应注意验证原型与模型之间的相似关系，以确认模拟实验结果的可靠性.物理模型常可得到实用上很有价值的结果，但也存在成本高、时间长、不灵活等缺点.思维模型指通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验形式直接贮存于人脑中，从而可根据思维或直觉作出相应的决策.如汽车司机对方向盘的操纵、一些技艺较强的工种（如钳工）的操作，大体上是靠这类模型进行的.通常说的某些领导者凭经验作决策也是如此.思维模型便于接受，也可以在一定的条件下获得满意的结果，但是它往往带有模糊性、片面性、主观性、偶然性等缺点，难以对它的假设条件进行检验，并且不便于人们的相互沟通.符号模型是在一些约定或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型.如地图、电路图、化学结构等，具有简明、方便、目的性强及非量化等特点.本书要专门讨论的数学模型则是由数字、字母或其它数学符号组成，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法.什么是数学模型其实你早在学习初等代数的时候就已经碰到过数学模型了.当然其中许多问题是老师为了教会学生知识而人为设置的.譬如你一定解过这样的“航行问题”：甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船速、水速各若干？用yx,分别代表船速、水速，可以列出方程75030)(yx，75050)(yx实际上，这组方程就是上述航行问题的数学模型.列出方程，原问题已转化为纯粹的数学问题.方程的解x=20km/h，y=5km/h，最终给出了航行问题的答案.当然，真正实际问题的数学模型通常要复杂得多，但是建立数学模型的基本内容已经包含在解这个代数应用题的过程中了.那就是：根据建立数学模型的目的和问题的背景作出必要的简化假设（航行中设船速和水速为常数）；用字母表示待求的未知量（yx,代表船速和水速）；利用相应的物理或其它规律（匀速运动的距离等于速度乘以时间），列出数学式子（二元一次方程）；求出数学上的解答（x=20，y=5）；用这个答案解释原问题（船速和水速分别为20km/h和5km/h）；最后还要用实际现象来验证上述结果.3一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构.而建立数学模型的全过程称为数学建模，它包括模型的建立、求解、分析和检验的全过程.从实际问题到数学模型，由从数学模型的求解结果回到现实对象，数学建模的全过程可以表示为图1.图1揭示了现实对象和数学模型的关系.一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实.另一方面，只有当数学建模的结果经受住现实对象的检验时，才可以用来指导实际，完成实践——理论——实践这一循环.1.2数学建模的基本方法和步骤为了更清楚地说明数学建模的基本方法和步骤，让我们来看两个具体实例.例1商人们怎样安全过河三名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人.由于他们自己划行.随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中.商人们怎样才能安全渡河呢?对于这类智力游戏经过一番思索是可以找出解决办法的.这里用数学模型求解,一是为了给出检模的示例,二是因为这类模型可以解决相当广泛的一类问题,比逻辑思索的结果容易推广.由于这个虚拟的问题已经理想化了,所以不必再作假设.安全渡河问题可以视为一个多步决策过程.每一步,即船由此岸驶向彼岸或从彼岸驶回此岸,都要对船上的人员(商人、随从各几人)作出决策,在保证安全的前提下(两岸的随从数都不比商人多),在有限内使全部人员过河.用状态(变量)表示某一岸的人员状况,决策(变量)表示船上的人员状况,可以找出状态随决策变化的规律.即问题转化为在状态的允许变化范围内(即安全渡河条件),确定每一步的决策,达到渡河的目标.模型构成记第k次渡河前此岸的商人数为kx，随从数为ky,,,2,1k现实对象的解答数学模型验证求解数学模型的解答解释现实对象的信息表述图1数学建模的全过程43,2,1,0,kkyx.将二维向量),(kkkyxs定义为状态.安全渡河条件下的状态集合称为允许状态集合,记作S.}2,1;3,2,1,0,3;3,2,1,0,0|),{(yxyxyxyxS(1)不难验证,S对此岸和彼岸都是安全的.记第k次渡船上的商人数为ku，随从数为kv,将二维向量),(kkkvud定义为决策.允许决策集合记作D,由小船的容量可知}2,1,0,,21|),{(vuvuvuD(2)因为k为奇数时船从此岸驶向彼岸,k为偶数时船由彼岸驶回此岸,所以状态ks随决策kd变化的规律是kkkkdss)1(1(3)(3)式称状态转移规律.这样,制订安全渡河方案归结为如下的多步决策模型:求决策),,2,1(nkDdk,使状态Ssk按转移规律(3),由初始状态)3,3(1s经有限步n到达状态)0,0(1ns.模型求解根据(1)~(3)式编一段程序用计算机求解上述多步决策问题是可行的.不过对于商人和随从人数不大的简单状况,用图解法解这个这个模型更为方便.在Oxy平面坐标系上画出图2那样的方格,方格点表示状态),(yxs,允许状态集合S是用圆点标出的10个格子点.允许决策kd是沿方格线移动1或2格,k为奇数时向左、下方移动,k为偶数时向右、上方移动.要确定一系列的kd使由)3,3(1s经过那些圆点最终移至原点(0,0).图2给出了一种移动方案,经过决策1121,,,ddd,最终有)0,0(12s.这个结果很容易翻译成渡河的方案.x332211O1dd1y3dd12dd14dd15dd16dd17dd18dd110d1sd19dd111dd1图2安全渡河问题的图解法5评注这里介绍的是一种规格化的方法,所建立的多步决策模型可以用计算机求解,从而具有推广的意义.例2汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：正常驾驶条件下车速每增10英里/小时，后面与前面一辆车的距离应增加一个车身的长度.又云,实现这个规则的一种简便办法是所谓“2秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始默数2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何.试判断“2秒准则”与上述规则是一样的吗,这个规则的合理性如何,是否有更好的规则.问题分析制订这样的规则是为了在后车急刹车情况下不致撞上前车,即要确定汽车的刹车距离.刹车距离显然与车速有关,先看看汽车在10英里/小时(约16km/h)的车速下2秒钟行驶多大距离.容易计算这个距离为:10英里/小时5280英尺/英里1小时/3600秒2秒=29.33英尺(=8.94m),远大于一个车身的平均长度15英里(=4.6m),所以“2秒准则”与上述规则并不一样.为判断规则的合理性,需要对刹车距离作较仔细的分析.刹车距离是由反应时间和车速决定,反应时间取决于司机个人状况(灵巧、机警、视野等)和制动系统的灵敏性(从司机脚踏刹车板到制动器真正起作用的时间),对于一般规则可以视反应时间为常数,且在这段时间内车速尚未改变.制动距离与制动器作用力(制动力)、车重、车速以及道路、气候等因素有关,制动器是一个能量耗散装置,制动力作的功被汽车动能的改变所抵消.设置制动器的一个合理原则是,最大制动力大体上与车的质量成正比,使汽车的减速度基本上是常数,这样,司机和乘客少受剧烈的冲击.至于道路、气候等因素，对于一般规则又可以看作是固定的.模型假设基于上述分析,作以下假设:1)刹车距离d等于反应距离1d与制动距离2d之和.2)反应距离1d与车速v成正比,比例系数为反应时间1t.3)刹车时使用最大制动力F,F作的功等于汽车动能的改变,且F与车的质量m成正比.模型建立由假设2,vtd11(1)6由假设3,在F作用下行使距离2d作的功2Fd使车速从v变成0,动能的变化为2/2mv,有2Fd=2/2mv,又F∝m,由牛顿第二定律知,刹车时的减速度a为常数,于是22kvd(2)其中k为比例系数,实际上ak2/1.由假设1,刹车距离为21kvvtd(3)为了将这个模型用于实际,需要知道其中的参数1t和k.通常有经验估计和数据拟合两种方法,这里我们采用反应时间1t的经验估计值(按多数人平均计)0.75秒,而利用交通部门提供的一组刹车距离的实际数据(表1)来拟合k.车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）43.91.53044.073.5（78）82.51.84058.7116（124）132.12.15073.3173（186）192.22.56088.0248（268）263.83.070102.7343（372）346.53.680117.3464（506）439.54.3表1车速和刹车距离(第3列括号内是最大值)利用表1的第2,3列数据和1t=0.75秒,可以得到模型(3)中k=0.06,于是206.075.0vvd(4)表1第4列是按(4)式计算的刹车距离,图3给出了实际刹车距离和计算刹车距离的比较,表1最后一列刹车时间是按最大刹车距离(第3列括号内)计算的.模型应用按照上述模型可以将所谓“2秒准则”修正为“t秒准则”,即后车司机从7前车经过某一标志开始默数t秒钟后到达同一标志,t由表2给出.车速(英里/小时)0~1010~4040~6060~80t(秒)1234表2修正后的“t秒准则”从上面的例子可以看到,数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析的方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也不同，我们不能指望归纳出若干条准