第一章直角三角形的边角关系解直角三角形及其应用复习(含答案)

定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。2.直角三角形的边角关系：如图:（3）边角之间的关系：3.解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。4.几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。坡度越大，坡角越大，坡面越陡。（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。5.运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。（3）选择适当关系式解直角三角形。典型例题例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。分析：根据题意知，点B离地面的高度是可求的。所以过B作BD⊥AC于D构造直角三角形BCD解直角三角形求出CD，则可求AC。解：如图（2），过B点作BD⊥AC交CA的延长线于D在Rt△BCD中，∠BCD＝12°答：AC的长度为222cm。构造Rt△BCD是解题的切入点，由题意求BD、AD长是解题的关键。例3.如图，湖泊的中央有一建筑物AB，某人在地面C处测得其顶点A的仰角为60°，然后自C处沿BC方向行100m至D点，又测得其顶部A的仰角为30°，求建筑物AB的高。分析：图中CD是已知条件，但不在直角三角形中，根据生活经验知，△ABC、△ABD是Rt△，利用DC＝BD－CB，设AB＝x可求，也可利用角度关系得出CD＝AC，再解Rt△ABC。解：法一：设AB＝x在Rt△ADB中，∠D＝30°在Rt△ABC中，∠ACB＝60°又DC＝BD－BC＝100法二：如图，∵∠D＝30°，∠ACB＝60°∴∠D＝∠DAC＝30°∴AC＝DC＝100在Rt△ABC中，∠ACB＝60°答：例4.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝高23米，坝面宽BC＝6米，根据条件求：（1）斜坡AB的坡角α；（2）坝底宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1米）。分析：梯形的问题，首先应作辅助线构造直角三角形，再利用条件解直角三角形。解：分别过B、C两点作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则BCFE为矩形∴BE＝CF，BC＝EF（1）在Rt△BAE中，i＝1：3（2）在Rt△ABE中，i＝1：3，BE＝23∴AE＝3BE＝3×23＝69（米）在Rt△CDF中，i＝1：2.5，CF＝BE＝23∴DF＝2.5×23＝57.5（米）答：坡角α为18o26'，坝底AD为132.5米，斜坡AB约为72.7米。例5.45°，DC＝6，求∠BAD的正切值。分析：欲求tan∠BAD的值，应考虑将∠BAD放在一个Rt△中，利用已知∠ADC＝45°考虑构造直角三角形。解：过点B作BF⊥AD交AD的延长线于E△ADC中，∠ADC＝45°，DC＝6∴AC＝DC＝6∠BDE＝45°由勾股定理得：BC＝8在Rt△BDE中，∠BDE＝45°例6.如图，一艘轮船以20海里/小时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/小时的速度由南向北移动，距台风中心海里的图形区域（包括边界）都属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100海里。（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，说明理由。（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60海里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数分析：略解：（1）设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连CE（如图（2）），则有AC＝20t，BE＝40t∴途中会遇到台风∴最初遇到台风的时间为1小时（2）设台风抵达D港时间为t小时此时台风中心移至M点过D点作DF⊥AB于F，连DM，如图（2）在Rt△ADF中，AD＝60，∠FAD＝60°答：船速至少应提高25.5海里/小时。模拟试题一、填空题。1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，，则∠A＝__________，sinA＝__________。2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，∠A＝45°，则a＝__________，b＝__________，∠B＝__________。3.如果等腰三角形的顶角为120°，腰长为6cm，这个三角形的面积为__________。4.如图Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，∠DAC＝30°，BD＝2，，则AC＝__________。5.若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10m，则他所在的位置比原来的位置升高________m。6.如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45°和30°，如果这两艘船一个正东，一个正西，那么它们之间的距离为__________。二、选择题。1.Rt△ABC中，∠C＝90°，，则（）A.4B.8C.1D.62.在Rt△ABC中，斜边AB是直角边BC的4倍，则cosA＝（）A.B.C.D.如图，某河堤横断面为梯形，上底为4m，堤高为6m，坡AD的坡度为1：3，斜坡CB的坡度为1：1，则河堤横断面的面积为（）A.B.C.D.4.如图Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则sin∠ACD＝（）A.B.C.D.5.如图，已知上午9时，一条船从A处出发以10海里/小时的速度向正北航行，11时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°，则灯塔C到直线AN的距离CD＝（）A.20B.C.D.10三、解答题。1.如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，，求AC的长。如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，D为AC上一点，∠BDC＝45°，DC＝6cm，求AB、AD的长。3.如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m，从A点测得C点的仰角为60°，测得D点的俯角为30°，求建筑物甲的高CD。4.如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m，现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长。如图，某水库大坝长2000米，坝顶宽10米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，坝高60米。（1）求背水坡的坡角α及背水坡长BC。（2）求坝基AB的宽。（3）共有多少米3土方？参考答案一、填空题。1.∠A＝30°，2.3.4.5.6m6.二、选择题。1.A（引进参数，可计算。）2.B（）3.B4.C5.C三、解答题。1.解：如图，过AB作AD⊥BC于D在Rt△ABD中，又在Rt△ACD中，∠C＝45°又2.解：如图，在Rt△BCD中，∠BDC＝45°，DC＝6∴BC＝DC＝6在Rt△ABC中，3.解：如图，依题意得：∠CAD＝60°＋30°＝90°∠ADB＝30°，∠ADC＝60°在Rt△ABD中，BD＝30，∠ADB＝30°在Rt△ACD中，∠ADC＝60°，∴∠C＝30°答：4.解：依题意，AB⊥CD于B，即∠ABC＝90°设AB＝x在Rt△ABD中，∠ADB＝45°∴BD＝AB＝x在Rt△ABC中，∠C＝30°＝50，，即又∠C＝30°，5.解：（1）分别过点D、C作DE⊥AB，CF⊥AB于E、F设CF＝60∴BF＝3CF＝180（米）（2）在Rt△ADE中，i＝1：1.5，DE＝60又EF＝CD＝10（米）（3）（米2）∴土方（米3）答：略。