因式分解拔高题专项练习

因式分解的“八个注意”事项及“课本未拓展的五个的方法”在因式分解这一章中，教材总结了因式分解的四个步骤，可概括为四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”然而在初学因式分解时，许多同学在解题中还是会出现一些这样或那样的错误，或者都学透了，但是试卷上给出的题目却还是不会分解，本文提出以下“八个注意”事项及“五大课本未总结的方法”，以供同学们学习时参考。一、“八个注意”事项（一）首项有负常提负例1把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止出现诸如－a2－b2=（－a+b）（－a－b）的错误。（二）各项有公先提公例2因式分解8a4－2a2解:8a4－2a2=2a2(4a2－1)=2a2(2a+1)(2a－1)这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式。防止出现诸如4a4-a2=（2a2+a）(2a2-a）而又不进一步分解的错误.（三）某项提出莫漏1例3因式分解a3-2a2+a解：a3-2a2+a=a(a2-2a+1)=a(a-1)2这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如a3-2a2+a=a(a2-2a)的错误。（四）括号里面分到“底”。例4因式分解x4－3x2－4解：x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）＝（x2＋4）（x＋1）（x－1）这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。如上例中许多同学易犯分解到x4+3x2－4＝（x2＋4）（x2－1）而不进一步分解的错误。因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤是一脉相承的。（五）各式之间必须是连乘积的形式例5分解因式x2－9+8x=解：x2－9+8x=x2+8x－9=(x－1)(x+9)这里的“连乘积”，是指因式分解的结果必须是几个整式的连乘积的形式，否则不是因式分解。有些同学只注意到前两项运用平方差公式，得（x+3）(x－3)+8x。结果从形式上看右式不是乘积形式，显然是错误的。正解应是：原式=x2+8x－9=(x－1)(x+9)（六）数字因数在前，字母因数在后；例6因式分解xxx2718323解：xxx2718323=3x(x2-6x+9)=3x(x-3)2这里的“数字因数在前，字母因数在后”，指分解因式中不能写成xxx2718323=x3(x2-6x+9)=x3(x-3)2（七）单项式在前，多项式在后；例7因式分解33xyyx解：33xyyx=xy(x2-y2)=xy(x+y)(x-y)这里的“单项式在前，多项式在后”，指分解因式中不能把单项式写在后面，即不能写成33xyyx=(x2-y2)xy=(x+y)(x-y)xy（八）相同因式写成幂的形式；例8因式分解x4y-x2y3解：x4y-x2y3=x2y(x2-y2)=x2y(x+y)(x-y)这里的“相同因式写成幂的形式”，指分解因式中不能相同的因式写成乘的形式，而应该写成幂的形式，即不能写成x4y-x2y3=x2y(x2-y2)=xxy(x+y)(x-y)；二、课本未拓展的五个的方法以下五个方法是因式分解中比较难的一些，需要大家熟练掌握因式分解基本方法：（1）提公因式；（2）公式法：平方差公式，完全平方公式及常用公式；（3）十字相乘。只有熟练掌握了以上三种方法，你才能更好的理解这五种拓展方法。（一）巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。例1、因式分解32422baba解析：根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），则32422baba=)12()44(14242222bbaababa=)3)(1()1()2(22bababa例2、因式分解611623xxx解析：根据多项式的特点,把26x拆成2242xx；把x11拆成xx38则611623xxx=)63()84()2(223xxxxx=)3)(2)(1()34)(2()2(3)2(4)2(22xxxxxxxxxxx（二）巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。例3、因式分解444yx解析：根据多项式的特点,在444yx中添上22224,4yxyx两项，则444yx=2222224224)2()2(4)44(xyyxyxyyxx=)22)(22(2222yxyxyxyx例4、因式分解4323xx解析：根据多项式的特点，将23x拆成224xx，再添上xx4,4两项，则4323xx=4444223xxxxx=)1)(44()44()44(222xxxxxxxx=2)2)(1(xx（三）巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。例5、因式分解24)6)(43(22xxxx解析：24)6)(43(22xxxx=24)3)(2)(4)(1(xxxx=24)12)(2(24)4)(3)(2)(1(22xxxxxxxx设22xxy，则10122yxx于是，原式=)62)(42()6)(4(241024)10(222xxxxyyyyyy=)8)(3)(2()8)(6(222xxxxxxxx例6、因式分解2)1()2)(2(xyyxxyyx解析：设nxymyx,，则2)1()2)(2(xyyxxyyx=2)1()2)(2(nmnm=1)(2)(1222222nmnmnmnmnm=22222)1()1()1)(1()1()1(yxyxxyyxnm（四）展开巧组合：若一个多项式的某些项是积的形式，直接分解比较困难，则可采取展开重组合，然后再用基本方法分解，可谓匠心独具，使问题巧妙得解。例7、因式分解)()(2222nmxyyxmn解析：将多项式展开再重新组合，分组分解)()(2222nmxyyxmn=2222xynxymmnymnx=))(()()()()(2222nymxmynxmynxnymynxmxxynmnyxymmnx例8、因式分解22)()(mynxnymx解析：22)()(mynxnymx=2222222222ymmnxyxnynmnxyxm=)()()()(22222222222222nmynmxynymxnxm=))((2222yxnm（五）巧用主元：对于含有两个或两个以上字母的多项式，若无法直接分解，常以其中一个字母为主元进行变形整理，可使问题柳暗花明，别有洞天。例9、因式分解xyxyxxx2232234解析：将多项式以y为主元，进行整理xyxyxxx2232234=)23()2(2342xxxyxx=))(2()1)(2()2(22yxxxxxxxyxx例10、因式分解abcbccbaccaabba2222222解析：这是一个轮换对称多项式，不妨以a为主元进行整理abcbccbaccaabba2222222=)()2()(222cbbccbcbacba=)()()(22cbbccbacba=))((])()[(22bcacabacbbccbaacb=))()(()]()()[(cbcababacbaacb