第一节三角形常应变单元

1第三章平面问题的有限元法本章通过三角形常应变单元，介绍有限元法应用于弹性体应力分析的基本原理和方法：包括弹性体的离散化，单元特性的分析，刚度矩阵的建立，等效节点力的计算，解答的收敛性以及实施步骤和注意事项，同时对形函数的性质也作简要的叙述。第一节三角形常应变单元一、结构离散化用有限元法分析弹性力学平面问题，第一步就是把原来的连续的弹性体离散化。(a)(b)将整个结构（平板）划分成有限个三角形。这样的三角形称为单元（三角形单元）。三角形单元的顶点取为节点。3节点三角形单元用边界节点间的直线段来近似板的曲线边界。这些三角形在其节点处相互连接，组成一个单元集合体，以代替原来的弹性体。注：1.全部节点和全部单元一般由1开始按自然顺序编号。22.节点编码：总码-----------用于整体分析，如1,2，…，按自然顺序编号局部码--------用于单元分析，i，j，m要求按逆时针方向的顺序进行编码每个单元的节点局部码i，j，m和节点总码有一一对应的关系3.单元间不能有重叠4.一个单元的任一顶点不许为另一单元任一边的内点5.所有作用在单元上的载荷，包括集中载荷、表面载荷和体积力，都按虚功等效的原则移置到节点上，成为等效节点载荷。3二、位移模式1.单元节点位移列阵Oijuuivmxyuivvjjmuvm设单元e的节点号码为i，j，m。由弹性力学平面问题可知，单元内任意一点有两个位移分量u，v，记为Tfuv故每个节点也有两个位移分量，因此称节点自由度为2。节点i位移分量记为Tiiiuv（i，j，m轮换）4则3个节点的位移分量用列阵表示为ieiiejjjmmmuvuvuv（3-1）称为单元节点位移列阵（向量）。单元自由度是6。2.位移模式结构承受载荷以后发生位移，但位移分布事先并不知道。位移法有限元采用节点位移为基本未知量。因此，在应用位移法有限元时，需要对单元内部的位移分布进行假定，使其满足节点的位移连续条件和单元边界的位移连续条件。单元位移分布的假定一般选用代数多项式，多项式的系数待定。这是一种近似方法。代数多项式的次数可以选择很高，不过次数越高，分析越麻烦，但精确度越好。这种假定的单元位移分布形式称为位移模式，它是坐标x和y的函数，所以也称为位移函数。对于3节点三角形单元，选用的位移模式是把单元中任一点的位移u，v表示为坐标x和y的线性函数，即5123456uxyvxy（3-2）式中,,,,,123456为待定常数设各节点坐标分别为（,iixy），(,jjxy)，(,mmxy)，同时设各节点位移分别为（,iiuv），(,jjuv)，(,mmuv)代入式（3-2）得123iiiuxy，456iiivxy123jjjuxy，456jjjvxy123mmmuxy，456mmmuxy由上式左边的三个方程可以求得112iiijjjmmmuxyuxyuxy，211121iijjmmuyuyuy，311121iijjmmxyxyxx其中1211iijjmmxyxyxy式中为三角形面积，为了保证求得的面积为正值，三个节点i，j，m必须按逆时针编排。将123,,代入式（3-2），经整理得1[()()()]2mmmmiiiijjjjuabxcyuabxcyuabxcyu6其中mmijjmijmijaxyxybyycxx（i，j，m轮换）（3-3）同理得1[()()()]2mmmmiiiijjjjvabxcyvabxcyvabxcyv若令,1()2iiiixyNabxcy（i,j,m轮换）（3-4）则得位移模式为mmiijjmmiijjuNuNuNuvNvNvNv（3-5）也可写成矩阵形式000000iiijmjijjjmmijmeuvNNNuufNNNvvuvNININI（3-6）7式中,,mijNNN是坐标,xy的线性函数，它们反映了单元的位移状态，所以称为形函数，且称000000mijmijNNNNNNN为形函数矩阵。其中Temmiijjuvuvuv8例题1图示单元，已知各节点的坐标（单位:m）。计算：1.形函数的表达式；13边中点A的形函数；2.已知各节点的位移：1（0，-0.001），2（0.002,0）和3（0,0），计算13边中点A的位移。解：1.单元的面积11202022011axyxyijmmjbyyijmcxximj00202020axyxyjmiimbyyjmicxxjim001axyxymijjibyymijcxxmji因1()2iiiiNabxcy（i,j,m轮换），得1(,)(22)2Nxyxyi3(0,0)ijm·1(0,2)2(1,0)xyA9同理1(,)22Nxyxxj1(,)2Nxyym在13边中点A有0,1xy，将其代入上式，得1(,)2(,)01(,)2NxyiNxyjNxym2.单元节点位移000.002000.001TemmiijjTuvuvuv由方程（3-5），得13边中点A的位移110000()221100(0.001)220.0005()mmiijjmmiijjuNuNuNummvNvNvNvmm10三、应变有了单元位移模式（3-5），利用平面问题的几何方程xyxyuxvyuvyx可以求得应变分量。jmixmijjmiymijjjmmiixymmijijNNuNuuuxxxxNNvNvuvyyyyNNNNuvNNuuuvvvyxyyyxxx而,22iiiiNbNcxy（i，j，m轮换）所以1()21()21()2bububuxiijjmmcvcvcvyiijjmmcucucubvbvbvxyiijjmmiijjmm写成矩阵形式1100010002xyxyiimijejmijjmmiijjmmuvbbbucccvcbcbcbuv简写成eeB(3-7)按节点号，将矩阵B写成分块矩阵形式mijBBBB(3-8)而子矩阵0102iiiiibBccb（i，j，m轮换）(3-9)注：1.式(3-7)是用节点位移表示单元应变的矩阵方程，其中矩阵B称之为单元应变矩阵。2.由于,,,,,,bbbcccijmijm等都是常数，所以应变矩阵B中的元素都是常数，因而单元中各点的应变分量,,xyxy也都是常数。故这种单元称为常应变单元。12例题2对于例1单元，试计算单元应变。I解：xeymmiijjxyBBB0i∴单元应变为xeymmjjxyBB20000.00201100012200.00102100.0020.0005000110022jmjmmjmjmmjjbbuuccvvcbcb13四、应力求得应变后，利用物理方程D便可导出以节点位移表示的应力关系式中。把式（3-7）代入上式，得eeDB（3-10）令SDB则eeS（3-11）上式表示的是应力与节点位移之间的关系。式中矩阵S称之为单元应力矩阵，写成分块矩阵的形式mmijijSDBBBSSS（3-12）对于平面应力问题，其弹性矩阵D为2101011002ED代入式（3-12），得对应于平面应力问题的应力矩阵1422(1)1122iiiiiiiibcESDBbccb（i,j,m轮换）(3-13)对于平面应变问题，只要把平面应力问题的弹性矩阵中的E换成21E，换成1，即得其弹性矩阵为101(1)10(1)(12)112002(1)ED则对应于平面应变问题的应力矩阵为1(1)2(1)(12)112122(1)2(1)iiiiiiiibcESDBbccb（i,j,m轮换）(3-14)15注：1.由(3-13)和(3-14)式知，S中的元素都是常数，所以每个单元中的应力分量也是常数。故这种单元也称为常应力单元。2.由于相邻单元将具有不同的应力和应变。这样越过公共边界，即从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元，应力和应变的值都将有突变；但从一个单元过渡到另一个与它相邻的单元，位移是连续的。3.随着单元的缩小，可减小这种应力和应变的突变16例题3对于例1单元，试计算单元应力。解：xeeymmiijjxySSSS0iemmjjSS22220202(1)2(1)0111220002(1)102jjjjjjjmbcEESbccbES所以单元应力为172280200.0020200000.0012(1)101020.0040.0010.0040.0012(1)03.3670.210()0eEEMPa