第一节平面向量的概念及共线向量复习题

第七单元第一节一、选择题1．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA→＋OB→＋OC→＝0，那么()A．AO→＝OD→B．AO→＝2OD→C．AO→＝3OD→D．2AO→＝OD→【解析】由题意可得，OB→＋OC→＝2OD→.又2OA→＋OB→＋OC→＝0，得OB→＋OC→＝－2OA→，所以2OD→＝－2OA→，即AO→＝OD→.【答案】A2．已知向量a、b且AB＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→＝2a＋7b，则一定共线的三点是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D【解析】∵AB→＝a＋b，BC→＝2a－3b，CD→＝2a＋7b，∴AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝5a＋5b＝5AB→，∴AB→∥AD→，故A、B、D三点共线．【答案】A3．已知AB→＝3(e1＋e2)，BC→＝e1－e2，CD→＝2e1＋e2，则下列关系一定成立的是()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．C，A，D三点共线D．B，C，D三点共线【解析】由题意得AC→＝AB→＋BC→＝3(e1＋e2)＋(e1－e2)＝4e1＋2e2＝2(2e1＋e2)＝2CD→，故C、A、D三点共线．【答案】C4．D、E、F分别是△ABC的BC、CA、AB上的中点，且BC→＝a，CA→＝b，给出下列命题，其中正确命题的个数是()①AD→＝－12a－b②BE→＝a＋12b③CF→＝－12a＋12b④AD→＋BE→＋CF→＝0A．1B．2C．3D．4【解析】如图，AD→＝CD→－CA→＝－12a－b，BE→＝BC→＋CE→＝a＋12b，CF→＝12(CB→＋CA→)＝－12a＋12b，AD→＋BE→＋CF→＝－12a－b＋a＋12b－12a＋12b＝0，故四个命题均正确．【答案】D5．(精选考题·湖北高考)已知△ABC和点M满足MA→＋MB→＋MC→＝0.若存在实数m使得AB→＋AC→＝mAM→成立，则m＝()A．2B．3C．4D．5【解析】由题目条件可知，M为△ABC的重心，连接AM并延长交BC于D，则AM→＝23AD→.因为AD为中线，则AB→＋AC→＝2AD→＝mAM→，即2AD→＝mAM→，由上述两个关系式可得m＝3.【答案】B6．(精选考题·海口模拟)如图，设向量a，b是不共线的向量，则向量AB→＝()A．7a－4bB．－7a＋4bC．7a＋4bD．－7a－4b【解析】由图象知，向量AB→在水平方向上有7个单位，在竖直方向上有4个单位，并且竖直方向上是反向的．【答案】A7．在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA→＋PB→＋PC→＝AB→，则△PBC与△ABC的面积之比是()A.13B.12C.23D.34【解析】由PA→＋PB→＋PC→＝AB→，得PA→＋PB→＋BA→＋PC→＝0，即PC→＝2AP→，所以点P是CA边上的第二个三等分点，故S△PBCS△ABC＝23.【答案】C二、填空题8．(精选考题·苏州模拟)如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是________．①AB→＝DC→；②AD→＋AB→＝AC→；③AB→－AD→＝BD→；④AD→＋CB→＝0.【解析】①显然正确；由平行四边形法则知②正确；AB→－AD→＝DB→，故③不正确；④中AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0，故④正确．【答案】①②④9．(精选考题·徐州模拟)设四边形ABCD中，有DC→＝12AB→，且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形是________．【解析】由DC→＝12AB→知四边形ABCD是梯形，又|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是等腰梯形．【答案】等腰梯形10.(精选考题·南京二模)如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB→＝mAM→，AC→＝nAN→，则m＋n的值为________．【解析】方法一：过点O作OP平行于AB交AC于点P，则△NOP∽△NMA，∴OPAM＝PNAN，即|AB→|2|AM→|＝|AC→|2－|NC→||AN→|，∴m|AM→|2|AM→|＝n|AN→|2－|nAN→－AN→||AN→|，∴m2＝n2－(n－1)，∴m＋n＝2.方法二：AO→＝12(AB→＋AC→)＝12mAM→＋12nAN→.∵M、O、N三点共线，∴m2＋n2＝1，∴m＋n＝2.方法三：令M与B，N与C重合，∴m＝1，n＝1，∴m＋n＝2.【答案】2三、解答题11.如图，▱OADB的对角线OD、AB相交于点C，线段BC上有一点M满足BC＝3BM，线段CD上有一点N满足CD＝3CN，设OA→＝a，OB→＝b，试用a，b表示OM→，ON→，MN→.【解析】∵BM＝13BC＝16BA，∴BM→＝16BA→＝16(OA→－OB→)＝16(a－b)，∴OM→＝OB→＋BM→＝b＋16(a－b)＝16a＋56b.∵CN＝13CD，∴ON＝43CD＝23OD，∴ON→＝23OD→＝23(OA→＋OB→)＝23(a＋b)．∴MN→＝ON→－OM→＝23(a＋b)－16a＋56b＝12a－16b.12．如图所示，在△ABO中，OC→＝14OA→，OD→＝12OB→，AD与BC交于点M，设OA→＝a，OB→＝b.用a，b表示OM→；【解析】设OM→＝ma＋nb，则AM→＝OM→－OA→＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb，AD→＝OD→－OA→＝－a＋12b.由三点A，M，D共线，则AM→，AD→共线，故有m－1－1＝n12⇒m＋2n＝1.而CM→＝OM→－OC→＝m－14a＋nb，CB→＝OB→－OC→＝－14a＋b.由三点C，M，B共线，则CM→，CB→共线，故有m－14－14＝n1⇒4m＋n＝1.联立m＋2n＝1，4m＋n＝1，⇒m＝17，n＝37.故OM→＝17a＋37b，