第一讲三角形基本概念分散截图

第一讲：三角形的基本定义一、认识三角形1、三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接而组成的图形叫三角形。如图，三角形ABC表示为△ABC，与点A相对的边可表示为线段a；直角三角形ABC可表示为Rt△ABC2、三角形的分类(1)按角分①锐角三角形：三个内角均为锐角②直角三角形：有一个角是直角③钝角三角形：有一个角是钝角(2)按边分①不等边三角形：三边均不相等②等腰三角形：有两边相等的边(特殊：等边三角形)3、三角形的基本性质：(1)两边之和大于第三边;两边之差小于第三边：a-b＜c＜a+b(2)三个内角和为180°：∠A+∠B+∠C=180°(3)三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。(4)直角三角形的两个锐角互余。(5)三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和。（三角形的一条边与另一条边延长线组成的角，叫做三角形的外角）4、三线：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段；三角形一共有三条中线，交于三角形内部一点(2)三角形的角平分线：三角形内角的角平分线交对边于一点，这点与角的顶点间的线段；三角形共有三条角平分线，交于三角形内部一点。(3)三角形的高线：从三角形的顶点向对边作垂线，垂线段叫做三角形的高。三角形共有三条高线，锐角三角形三高交于三角形内部一点，直角三角形三高交于直角顶点，钝角三角形三边的延长线交于三角形外部一点请画一个钝角三角形的三条高ABCabc典型例题一：三角形角的关系例1：已知：如图1,D是BC上一点,∠C＝62°,∠CAD＝32°,则∠ADB＝度.此题的依据：例2：（2013•湘西州）如图2，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD＝度例3：（2013•昭通）如图3，AB∥CD，DB⊥BC，∠2=50°，则∠1＝度例4：在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，③∠A=900－∠B，④∠A=∠B=12∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A、1个B、2个C、3个D、4个典型例题二：三角形三边的关系例1：以下列各组线段长为边，能构成三角形的是（）A、4cm、5cm、6cmB、2cm、3cm、5cmC、4cm、4cm、9cmD、12cm、5cm、6cm例2：（2013•南通）有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数是例3：为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）。A．5mB．15mC．20mD．28m例4：一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为变式训练1、已知ABC△的三边长abc，，，化简abcbac的结果是（）Ａ．2aＢ．2bＣ．22abＤ．22bc2、一个等腰三角形两边的长分别是15cm和7cm则它的周长是__________．3、一个等腰三角形两边的长分别是15cm和8cm则它的周长是__________．典型例题三：三角形的稳定性：例1：木工师傅作一木制矩形门框时，常需在其相邻两边之门钉上一根木条，他这样做的目的是，其中所涉及的数学道理是.典型例题四：三角形的三线之中线：例1：（2008•黔东南州）如图，学校有一块三角形空地（即△ABC），现准备将它分成面积相等的两块地，栽种不同的花草，请你把它分出来．例2：如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？例3：在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．例4：已知等腰三角形ABC一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求这个三角形的腰长．典型例题五：三角形三线之高线例1：在下图中，正确画出AC边上高的是（）．EBACCABCABCABEEE（A）（B）（C）（D）例2：下面说法错误的是()A．三角形的三条角平分线交于一点B．三角形的三条中线交于一点C．三角形的三条高交于一点D．三角形的三条高所在的直线交于一点例3：如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角例4：在△ABC中，高线BD，CE相交于点H，若∠A=60°，则∠BHC=度补充多边形内角和公式：例5：已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC＝60°，则∠BOC=度典型例题六：三角形三线之角平分线例1：已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．例2：△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．例3：如图，△ABC的三条角平分线交于I点，AI交BC于点D．求证：∠CID+∠ABI=90°例4：如图，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC＝_____．由此你可以得出什么结论；例5：如图，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．①求证：∠BPC=90°-21∠BAC．②由①问的结论猜想：三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？例6：在△ABC中，∠ACD为一外角，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACD，求证∠O=21∠A例7：如图，在△ABC中，∠A=60°，BO1、BO2是∠ABC的三平分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线，则∠BO1C=°，∠BO2C=°.补充：重要结论之：平行线、角平分线，等腰三角形来添①如图1，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC，∠ACB，过点O作直线EF∥BC交AB于E，交AC于F，猜想EF与BE、CF之间的关系②如图2，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO分别∠ACB的外角，过点O作直线EF∥BC交AB于E，交AC于F，猜想EF与BE、CF之间的关系③如图3，在△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB的外角，过点O作直线EF∥BC交直线AB于E，交直线AC于F，猜想EF与BE、CF之间的关系例8：如图，在△ABF中，BO、FO分别平分∠ABF和∠AFB，OD∥AB，OE∥AF，BF=14，求△ODE的周长？巩固训练（一）：一、填空选择题1.（2009•呼和浩特）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形或钝角三角形2.（2013•长沙）如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是（）A．2B．4C．6D．83.（2010•台湾）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为何（）A．5B．6C．7D．104.只有一条高在三角形内部的三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形5.（2013•丽水）如图5，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A=20°，∠COD=100°，则∠C的度数是（）A．80°B．70°C．60°D．50°6.（2012•连云港）如图6，将三角尺的直角顶点放在直线a上，且a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3=度7.（2012•海南）如图7小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α=120°，则∠β=度8.（2013•内江）如图8，把一块直尺与一块三角板放置如图，若∠1=40°，则∠2=度9.三角形的高线、中线、角平分线中，一定能把三角形分为面积相等的两个部分的是．10.如图10，点O是三角形两条角平分线的交点，若∠BOC=110°，则∠A=．11.如图11，△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，DE∥BC交AB于D，∠ADE=70°，求∠DEB=．12.如图12，BF为∠ABC的角平分线，CF为外角∠ACG的角平分线，∠A=50°，则∠F=．13.生活中，我们经常会看到如图13所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆，这是利用了三角形的．图10图11图12图13二、解答题1.（2000•内蒙古）如图，已知在三角形ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？2.（2013•邵阳）将一幅三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．（1）求证：CF∥AB．（2）求∠DFC的度数．3.（2003•泸州）如图，△ABC是某村一遍若干亩土地的示意图，在党的“十六大”精神的指导下，为进一步加大农村经济结构调整的力度，某村决定把这块土地平均分给四位“花农”种植，请你帮他们分一分，提供两种分法．要求：画出图形，并简要说明分法．