第七章_习题解答

1线性代数习题答案习题七1、设xyzxyxfu,,具有二阶连续偏导数，试利用矩阵表示法求22,yuyu。解：323210xzfxfxzxfffxyzxyxyDfyu；3322232222333231232221323222200fzxzfxfxxzxfffxzxzxfffxyfxzyfxxzfxfyyu2、设yxuyxufz,,,,满足复合函数求导条件，用矩阵方法求yzxu,。解：xyxyxxDxu01；yuyyuyyxufyuffffffyxyDfyz10。3、给定对称矩阵A及向量b,312,520210001bA试求函数bXAXXXf的最小值点与最小值。解：∵01,011001,01,520210001321ADDDA，∴A正定，A可逆。由（7-7）式及定理7.1.2知，函数bXAXXXf在21123121202500011bAX处取得极小值。又当XX时，由A的正定性知，XfXfAXX,0。故X为最小值点，此时最小值0312112112312312112112520210001112minf4、已知A是n阶负定矩阵，b是n维向量，S是已知常数，函数SbXAXXXf2。证明bAX1是Xf惟一的最大值点。证明：SbXAXXXf2，nkbxaXfxknjjkjk,,2,1221，令0Xfxk，则AX=b。∵A负定，故A可逆。由定理7.1.2知，存在惟一解bAX1为极大值点。设YXX，AYYXfYXfXf，当XX即0Y时，有0AYY。∴XfXf，因此bAX1是Xf惟一的最大值点。5、已知一个经济系统在一个生产周期内的生产和分配如下表（价值型）：部门间消耗流量部门123最终需求总产出生产部门16019030600290152018038003309560600试求：⑴各部门的最终需求；3⑵各部门的净产值；⑶直接消耗系数矩阵。解：⑴由3,2,131ixyxiijij，则各部门的最终需求415,2010,320Y。⑵由3,2,131jxzxjjiij，则各部门的净产值330,1995,420Z。⑶由3,2,1,jixxajijij，则直接消耗系数矩阵为1.0025.005.03.04.015.005.005.01.0。6、已知某个经济系统在一个生产周期的直接消耗矩阵为1.01.01.02.02.01.02.02.02.0最终需求下列22512575Y，试求：⑴各部门的总产出向量321xxxX；⑵求各部门间的流量3,2,1,jixij，及净产值向量321zzzZ；⑶列出投入产出表。解：⑴YXAE，19.119.017.035.035.121.038.038.035.11AE；25.304,25.263,25.234X；⑵由3,2,1,jixaxjijij，∴4.303.264.239.607.524.239.607.529.46ijx；由3,2,131jxzxjjiij，得1.1526.1315.140Z；4⑶投入产出表如下：部门间消耗流量部门123最终需求总产出生产部门146.952.760.975235.5223.452.760.9125262323.426.330.4225305.1净产值140.5131.6152.1注：由于四舍五入，数据有误差。7、已知直接消耗系数矩阵3.02.03.03.04.01.02.01.03.0A试求完全消耗系数矩阵B。解：完全消耗系数矩阵0918.18673.00204.11735.11939.18163.07653.05612.08367.01EAEB。8、已知某经济系统在一个生产周期内的直接消耗系数矩阵A与最终需求向量Y如下：22512075,1.01.01.02.02.01.02.02.02.0YA。⑴编制投入产出表；⑵如果部门1最终需求增加25,部门3最终需求减少25,试确定各部门总产出的改变量。解：略。