第七章作业及答案(学生版)

习题7-11.选择题(1)设总体X的均值μ与方差σ2都存在但未知,而12,,,nXXX为来自X的样本,则均值μ与方差σ2的矩估计量分别是().(A)X和S2.(B)X和211()niiXn.(C)μ和σ2.(D)X和211()niiXXn.解选(D).(2)设[0,]XU,其中θ0为未知参数,又12,,,nXXX为来自总体X的样本,则θ的矩估计量是().(A)X.(B)2X.(C)1max{}iinX≤≤.(D)1min{}iinX≤≤.解选(B).2.设总体X的分布律为X-215P314其中0＜θ＜0.25为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,试求θ的矩估计量.解的矩估计量为ˆ15X.3.设总体X的概率密度为(1),01,(;)0,xxfx其它.其中θ-1是未知参数,X1,X2,…,Xn是来自X的容量为n的简单随机样本,求:(1)的矩估计量；(2)θ的极大似然估计量.解参数θ的矩估计量为21ˆ1XX.θ的极大似然估计值为1ˆ1lnniinx,而θ的极大似然估计量为1ˆ1lnniinX.4.设总体X服从参数为的指数分布,即X的概率密度为e,0,(,)0,0,xxfxx≤其中0为未知参数,X1,X2,…,Xn为来自总体X的样本,试求未知参数的矩估计量与极大似然估计量.解的矩估计量为1ˆX.的极大似然估计值为1ˆx,的极大似然估计量为1ˆX.习题7-21.选择题:设总体X的均值与方差2都存在但未知,而12,,,nXXX为X的样本,则无论总体X服从什么分布,()是和2的无偏估计量.(A)11niiXn和211()niiXXn.(B)111niiXn和211()1niiXXn.(C)111niiXn和211()1niiXn.(D)11niiXn和211()niiXn.解选(D).2.若1X,2X,3X为来自总体2(,)XN的样本,且Y1231134XXkX为的无偏估计量,问k等于多少?解k=512.3.设总体X的均值为0,方差2存在但未知,又12,XX为来自总体X的样本,试证：2121()2XX为2的无偏估计.证因为22212112211[()][(2)]22EXXEXXXX2222112212[()2()()]22EXEXXEX,所以2121()2XX为2的无偏估计.习题7-31.选择题(1)总体未知参数的置信水平为0.95的置信区间的意义是指().(A)区间平均含总体95%的值.(B)区间平均含样本95%的值.(C)未知参数有95%的可靠程度落入此区间.(D)区间有95%的可靠程度含参数的真值.解选(D).(2)对于置信水平1-α(0α1),关于置信区间的可靠程度与精确程度,下列说法不正确的是().(A)若可靠程度越高,则置信区间包含未知参数真值的可能性越大.(B)如果α越小,则可靠程度越高,精确程度越低.(C)如果1-α越小,则可靠程度越高,精确程度越低.(D)若精确程度越高,则可靠程度越低,而1-α越小.解选（C）习题7-41.为调查某地旅游者的平均消费水平,随机访问了40名旅游者,算得平均消费额为105x元,样本标准差28s元.设消费额服从正态分布.取置信水平为0.95,求该地旅游者的平均消费额的置信区间.解所求μ的置信区间为222828((1),(1))(1052.0227,1052.0227)4040ssxtnxtnnn=(96.045,113.955).2.假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布.现随机抽取此种香烟8支为一组样本,测得其尼古丁平均含量为18.6毫克,样本标准差s=2.4毫克.试求此种香烟尼古丁含量的总体方差的置信水平为0.99的置信区间．解方差σ2的置信区间为2222122(1)(1)(,)(1)(1)nSnSnn22(81)2.4(81)2.4(,)20.2780.989=(1.988,40.768).3.某厂利用两条自动化流水线灌装番茄酱,分别从两条流水线上抽取样本:X1,X2,…,X12及Y1,Y2,…,Y17,算出221210.6g,9.5g,2.4,4.7xyss.假设这两条流水线上装的番茄酱的重量都服从正态分布,且相互独立,其均值分别为12,.又设两总体方差2212.求12置信水平为0.95的置信区间,并说明该置信区间的实际意义.解所求置信区间为121221111(()(2))((10.69.5)2.051811.94)1217wxytnnsnn=(-0.40,2.60).结论“21的置信水平为0.95的置信区间是(-0.40,2.60)”的实际意义是：在两总体方差相等时,第一个正态总体的均值1比第二个正态总体均值2大-0.40～2.60，此结论的可靠性达到95%.4.某商场为了了解居民对某种商品的需求,调查了100户,得出每户月平均需求量为10公斤,方差为9.如果这种商品供应10000户,取置信水平为0.99.(1)取置信度为0.99,试对居民对此种商品的平均月需求量进行区间估计;(2)问最少要准备多少这种商品才能以99%的概率满足需要？解(1)每户居民的需求量的置信区间为2222((1),(1))()99(102.575,102.575)(9.2275,10.7725).100100,ssssxtnxtnxzxznnnn10000户居民对此种商品月需求量的置信度为0.99的置信区间为(92275,107725)；（2）最少要准备92275公斤商品才能以99%的概率满足需要.总习题七1.设总体X的概率密度为,01(,)1,120,xfxx，≤≤，其它,其中（01）是未知参数.X1,X2,…,Xn为来自总体的简单随机样本,记N为样本值12,,,nxxx中小于1的个数.求:(1)θ的矩估计量;(2)θ的极大似然估计量.解(1)32X矩.(2)设样本12,,nxxx按照从小到大为序(即顺序统计量的观测值)有如下关系:x(1)≤x(2)≤…≤x(N)1≤x(N+1)≤x(N+2)≤…≤x(n).似然函数为(1)(2)()(1)(2)(1),1()0,,NnNNNNnxxxxxxL≤≤≤≤≤≤≤其它.考虑似然函数非零部分,得到lnL(θ)=Nlnθ+(n−N)ln(1−θ),令dln()0d1LNnN,解得θ的极大似然估计值为ˆNn..2.设总体X的概率密度为1,0,21(,),1,2(1)0,.xfxx≤其它其中参数θ(0θ1)未知,X1,X2,…,Xn是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(1)求参数θ的矩估计量ˆ;(2)判断24X是否为θ2的无偏估计量,并说明理由.解(1)得θ的矩估计量为1ˆ22X.(2)2222()(4)4()4{()[()]}4{[()]},DXEXEXDXEXEXn而21()6EX222115()()()121248DXEXEX故2222()313135(4)4{[()]}312DXnnnEXEXnnnn,所以24X不是θ2的无偏估计量.