第七节斯托克斯公式环流量与旋度

第七节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.内容分布图示★斯托克斯公式★例1★例2★例3★空间曲线积分与路径无关的条件★三元函数的全微分求积★环流量与旋度★例4★例5★例6★斯托克斯公式的向量形式★向量微分算子★内容小结★课堂练习★习题10-7★返回内容要点：一、斯托克斯公式定理1设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(zyxRzyxQzyxP在包含曲面在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR.LRdzQdyPdx(7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.coscoscosRdzQdyPdxdSRQPzyx二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(kzyxRjzyxQizyxPzyxA则沿场A中某一封闭的有向曲线C上的曲线积分CRdzQdyPdx称为向量场A沿曲线C按所取方向的环流量.而向量函数yPxQxRzPzQyR,,称为向量场A的旋度，记为Arot，即.kyPxQjxRzPizQyRArot旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQPzyxkjiArot.四、向量微分算子：,kzjyix例题选讲：利用斯托克斯公式计算例1（讲义例1）计算曲线积分,ydzxdyzdx其中是平面1zyx被三坐标面所截成的三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则（图10-7-2）.例2计算曲线积分,)()()(222222dzyxdyxzdxzy其中是平面2/3zyx截立方体：,10x,10y10z的表面所得的接痕，从x轴的正向看法，取逆时针方向.例3（讲义例2）计算,)()()(222222Cdzyxdyzxdxzy式中C是).0,0(2,222222zRrrxyxRxzyx此曲线是顺着如下方向前进的:由它所包围在球面Rxzyx2222上的最小区域保持在左方(图10-7-3).例4求矢量场kzjxyixA222在点2,1,10M处的散度级旋度.环流量与旋度例5（讲义例3）设,32222yzxyyxu求gradudiv(gradu)；rot(gradu).注：一般地，如果u是一单值函数，我们称向量场A=gradu为势量场或保守场，而u称为场A的势函数.例6（讲义例4）设一刚体以等角速度kjizyx绕定轴L旋转，求刚体内任意一点M的线速度v的旋度.课堂练习1.计算,)()()(222AmBdzxyzdyxzydxyzx其中AmB是螺线2,sin,coshzayax从)0,0,(aA到),0,(haB的一段曲线.2.物体以一定的角速度依逆时针方向绕Oz轴旋转,求速度v和加速度w在空间点),,(zyxM和已知时刻t的散度和旋度.