数理方程课后习题(带答案)

数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第1题设弦的两端固定于x=0及x=l，弦的初始位移如图所示，初速度为零，又没有外力作用，求弦作横向振动时的位移函数u(x,t)。lxccxxlclhxchxulxtxuttlututlxxuatu0,,)0,(0,0)0,(0,0),(,0),0(0,0,22222)()(),(tTxXtxuTXaTX2TTaXX210XX02TaT0)()(),(0)()0(),0(tTlXtlutTXtu数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲0)(,0)0(0,0lXXlxXX0BAxxX)(0BA0)(xX02xBxAxXsincos)(()sin0XlBl,3,2,1,/nlnn22/lnnnxlnBxXnnsin)(0)0(AX0X02XX数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲,3,2,1,/2nlnnxlnBxXnnsin)(02TaT02222nnTlanTtlanDtlanCTnnnsincosnnnTXu1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC)sincos(sintlanDtlanCxlnBnnnxlntlanDtlanCnnsin)sincos(1nnuu数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu0sin)0,(1nnxlnlanDtxu0nD1sin)0,(nnxlnCxulnxxlnxulC0dsin)0,(2222)(2nclchl数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第2题：求下列定解问题1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu22222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(),0(,0)0uuaxlttxutulttuxxlxxltux02(,0)sind0lnnCuxxxll0sin)0,(1nnxlnlanDtxu003442(,0)2sind()sind4[1(1)]llnnuxnnDxxxlxxxnatlnallna数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(),0uuaxlttxutulttuxxlxxl)()(),(tTxXtxuXTaXT2002TaTXX0)(,0)0(00lXXlxXXXXTaT20)()(),(0)()0(),0(tTlXtlutTXtu0)(,0)0(lXX令带入方程：令习题二第5题求下列定解问题（热传导方程）解：数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲02TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu22222222sinsinananttllnnnnnABexCexllxlnBXnnsin,3,2,1,22nlnnn0)(,0)0(00lXXlxXX数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲11sin2222ntlnannnxlneCuu1(,0)sinnnnuxCxl0023322(,0)sind()sind41(1)llnnnnCuxxxxlxxxllllln数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第6题：解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为0),(,0),0(,)0,(xtluxtuxxulxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0,(0,0),(,0),0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT2XXTaT2002TaTXX0)(,0)0(00lXXlxXX0)()(),(0)()0(),0(tTlXxtlutTXxtu0)(,0)0(lXX数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0,(0,0),(,0),0(0,0,2220)(,0)0(00lXXlxXX00XBAxX0BX0202XXxBxAXcossinlnnxlnBXnncos0)0(AX0sin)(lBlX,3,2,1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0,(0,0),(,0),0(0,0,22200BXxlnBXnncos,3,2,1,2nlnn02TaT000T000AtBT0A002222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXuxlneBAtlnanncos2222xlneCtlnancos2222000CAB100cos2222ntlnannnxlneCCuu000TXu数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲lxxxutxtluxtutlxxuatu0,)0,(0,0),(,0),0(0,0,22210cos2222ntlnanxlneCCu10cos)0,(nnxlnCCxxulnxxlnxlC0dcos20nlxxlC00d12llxlnxnll0sind21122212cos12422222ntlanxlnenllullxxlnnxlnxn00dsin2|sin2lxlnnl022|cos21)1(222nnl为奇数为偶数nnln,4,022数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第7题：求下列定解问题4,043(),4443,.4hlxxllxhxlhxllxll其中lxxxuttlututlxxuatu0),()0,(0,0),(,0),0(0,0,222数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第8题：试解出具有放射衰变的热传导方程2220,0,0(0,)0,(,)0,0(,0),0xuuaAexltxtutulttuxTxl非齐次方程齐次边界条件问题方法一：将这个问题分解为两个定解问题2220,0,0()(0,)0,(,)0,0(,0)0,0xVVaAexltxtIVtVlttVxxl(,)uxtVW数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲2220,0,0()(0,)0,(,)0,0(,0),0WWaxltxtIIWtWlttWxTxl对于（II）用分离变量法可得22221sinntalnnnWCexl代入初始条件可得1sinnnnTCxl由此可得022sind[1(1)]lnnnTCTxxlln数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲对于（I）可用固有函数法-x1AesinnnnAxl令-x2222022[1(1)]esindnllnnAneAxxllnl其中A1V(,)()sinnnnxtCtxl再令代入（I）中的方程及初始条件可得222'222222[1(1)]()()(0)0nlnnnnAneaCtCtlnlC2222222222[1(1)]()(1)()nnltlnAleCtennl由此可得数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲方法二：可设(,)(,)()uxtvxtwx选取w（x）使得：代入原问题得222()0,0,0(0,)(0)0,(,)()0,0(,0)(),0xvvwxaAexltxtvtwvltwltvxwxTxl()0,(0)()0xwxAewwl由此可得：222()(1),lxAAAwxexel然后用分离变量解2220,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)(),0vvaxltxtvtvlttvxTwxxl数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第9题：求解下列定解问题222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)0,0uuaAxlttxutulttuxxl非齐次方程齐次边界条件问题方法一：固有函数法sinnxl按展开方法二：可设(,)(,)()uxtvxtwx数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第10题：求满足下列定解条件的一维热传导方程的解(0,)10,(,)5,(,0)utultuxkx齐次方程非齐次边界条件问题可设(,)(,)()uxtvxtwx代入方程选取w（x）使得：()0,(0)10,()5wxwwl由此可得：5()10,wxxl然后用分离变量解222,0,0(0,)0,(,)0,05(,0)()10,0vvaxlttxvtvlttvxkxxll2222()vvaawxtx数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲22221sinantlnnnvvexl0252(1)(5)10[()10]sindnlnnklkxxxllln其中v(,)(,)()uxtvxtwx原问题得解为数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第11题：试确定下列定解问题：222(),0,0(0,),(,),0(,0)(),0uuafxxlttxutAultBtuxgxxl方程和边界条件都是非齐次的，但却与t无关可设(,)(,)()uxtvxtwx选取w（x）使得：2()()0,(0),()awxfxwAwlB由此可得：2001()(),xtwxdtfdCxAa其中20011(()),ltCBAdtfdla数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲然后用分离变量解222,0,0(0,)0,(,)0,0(,0)()(),0vvaxlttxvtvlttvxgxwxxl22221(,)sinantlnnnvxtvexl02[()()]sindlnngxwxxxll其中v(,)(,)()uxtvxtwx原问题得解为数学物理方程与特殊函数第2章习题选讲习题2第12题：求下列定解问题：22122212210,0