第七讲生活中的数学实例

生活中的数学实例一、现实的数学20世纪60年代兴起的新数学运动，对全球的数学教育界产生了巨大影响。根据结构主义的观念，数学本身就是一个有组织的、封闭的演绎体系；因而，数学教育也就意味着应该以体系的结构作为学习过程的指导方针，洞察数学的结构就成了数学教育的最重要的根本；从而提出了数学教育的目的就在于训练学生的逻辑演绎思维与公理化方法，必须以集合论与现代公理为基础，提供给学生一个完善的演绎理论体系。人们通过数学教学的实践，发现了结构主义的片面性。根据数学发展的历史，无论是数学的概念，还是数学的运算与规则，都是由于现实世界的实际需要而形成的。数学不是符号的游戏，而是现实世界中人类经验的总结。数学来源于现实，因而也必须扎根于现实，并且应用于现实。数学如果脱离了那些丰富多彩而又错综复杂的背景材料，就将成为无源之水，无本之木。另一方面，我们也认为数学是充满了各种关系的科学，通过与不同领域的多种形式的外部联系，不断地充实和丰富着数学的内容；与此同时，由于数学本身内在的联系，形成了自身独特的规律，进而发展成为严谨的形式逻辑演绎体系。因此，也应该让学生了解数学的整个体系一一充满着各种各样内在联系与外部关系的整体结构。学习数学就意味着能够做数学：熟练地运用数学的语言去解决问题、探索论据并寻求证明，而最重要的活动则应该是从给定的具体情境中，识别或提出一个数学概念。所以，要想引入一个新概念，却缺少足够的具体事实作为基础，或者反复介绍一个概念，却没有具体的应用，这都无法使学生产生求知的冲动；过早地形式化不可能有效果，而过早的抽象化也会引起学生的抵触情绪；因为他们希望知道这究竟有什么用处，又为什么是关联的。从具体情境中提取适当的概念，从观察到的实例进行概括，再通过归纳、类比，在直觉的基础上形成猜想，这是数学思维的方式。而要引导个体思维发展的最好方法，按照发生认识论的原则，就是追溯群体智力发展的自然顺序，当然不必再去重复错误。因此，数学教学的内容一一为学生准备的数学一一应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即现实的数学。如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，尤其是将数学与其他科学完全割裂开来，失掉了产生兴趣与刺激动机的最重要的源泉，必然会给数学教育带来极大的损害。二、每个人的数学现实数学应该是属于所有人的，我们必须将数学教给所有人。这是80年代国际数学教育界提出的新口号一一大众数学（MathematicsforAll），其中包含有两层意思：一是数学教育必须照顾到所有人的需求，并使每个人都从数学教育中尽可能多地得到益处；二是指在数学学习中，不同的人可以达到不同的水平，但也应该存在一个人人都能达到的水平。实际上，对于少数数学家来说，抽象的形式体系，严密的逻辑结构，以及涉及内在联系的规律，也许是最为本质、最为完美也是最感兴趣的东西；可是对于大多数人而言，掌握数学与外部世界的密切关系，从而获得适应于当前社会的生存与生活、并进而能够改革社会促使其进一步发展的能力，将是更为重要的。数学教师有时会产生一种错觉，似乎他的学生都将成为未来的数学家，因此努力想以数学家的思维模式来培养学生。可事实却是，只有极少数学生将来会从事与数学关系密切的工作，因而需要这方面的思维训练与专业准备；对绝大多数的学生来说，他们更需要的是与他们未来的工作直接有关的内容，也许更强调的是数学的社会文化背景，以及数学在面对现实情境时所能发挥的解决问题的实际作用。可是，如何理?quot;现实？不同的社会需要是否就是现实？如果将现实等同于实际的社会生产活动，这是一种片面的理解。据英国的考克罗夫特（W.H.Cockcroft）报告，他们在进行了广泛的调查，分析了一些比较实际的资料之后提出，人们所需要的数学可以分为三种水平：第一种是日常生活的需要。从个人消费、家庭开支到国家处处都要涉及各种数字、图表、测量等问题，这些大多是比较简单的数学知识，但却是每个人都必须知道的。第二种是不同的技术或者说是各种职业的需要。从工程师、农业技师到各行业的服务人员，在相当广泛的不同领域内各种不同性质工作的人，从各个不同方向，对数学知识提出了种种要求，当然其中也含有某些共同部分。第三种是为进一步学习并从事高水平研究工作的需要，范围很大，差别也很大。未来的科学家、企业家、管理学等，都需要与各个领域相关的不同分支的数学知识，他们需要共同的基础及类似的数学思想方法，但却涉及到千变万化的具体内容。数学教育当然应该为所有的人服务，应该满足全社会各种领域的人对数学的不同水平的需求。数学教育应该为不同的人提供不同的而为每个人培养适合于他所从事的不同专业用的数学态势，使其能顺利地处理有关的各种数学问题。可是，怎样才能使我们为学生准备的数学确实符合上述要面对千变万化的不同需求，能适应千差万别的不同态势呢？为此，荷兰的著名数学教育家弗赖登塔尔提出了一个重要的基本观点：每个人都有自己生活、工作和思考着的特定客观世界以这个客观世界的各种数学概念、它的运算方法、规律和有关的数学知识结构。这就是说，每个人都有自己的一套数学现实。从这个意义上说，所谓现实不一定限于具体的事物，作为属于这个现实世界的数学本身，也是现实的一部分，或者可以说，每个人也都有自己所接触到的特定的数学现实。大多数人的数学现实世界可能只限于简单的几何形状以及它们的运算，另一些人可能需要熟悉简单的函数和比较复杂的几何，至于一个数学家的数学现实可能就要包含希尔伯特（D.Hilbert）空间的算子、拓扑学以及纤维丛等等。弗赖登塔尔所说的数学现实是客观现实与人们的数学认识的统一体，并非先有了一个理论，然后去联系一下实际也不仅仅是从具体例子引入，然后做几个应用题就算完事。所谓数学现实乃是人们用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体，其中既含有客观世界的现实情况，也包括个人用自己的数学水平观察这些事物所获得的认识。因此，数学现实强调的是客观现实材料和数学知识体系两者密不可分，你中有我，我中有你，真正地溶为一体。因此，为学生准备数学的要旨就在于，应该确定各类学生在不同阶段所必须达到的数学现实；随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，必须了解并掌握学生所实际拥有?quot;数学现实；从而据此采取相应的方法，予以丰富，予以扩展，以逐步提高学生所具有的数学现实的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正像数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。三、一些具体的例子荷兰在数学教学研究与数学课程设计中，多年来一直提倡贯彻现实数学的原则，也是在数学教育实践中渗透现实数学原则卓有成效的国家之一。他们甚至提出这样的要求：如果数学的某个分支不存在令人信服的应用，那么这个数学分支就不应该列入数学课程之中。在荷兰的数学课程中，可以找到很多这方面的内容，下面这个例子是从商店出售各种不同牌子、不同规格的商品所获得的利润计算，引进矩阵的乘法概念，以及它的运算法则。某牛仔裤商店经销A、B、C、D、E五种不同牌子的牛仔裤，其腰围太小分别有28英寸、30英寸、32英寸、34英寸四种，在一个星期内，该商店的销售情况可用下列矩阵形式表示：假设不同牌子的每条牛仔裤的平均利润分别为：A为30元，B为35元，C为40元，D为25元，E为40元，试问28英寸牛仔裤在该星期内获得的总利润是多少？28英寸牛仔裤的销售量是：不同牌子的平均利润是：于是28英寸牛仔裤的总利润是：＝1×30＋3×35＋O×40＋1×25＋2×40＝240（元）如果要求各种规格大小的牛仔裤的总利润，就自然地得出下列的矩阵乘法：在我国新制订的义务教育阶段国家数学课程标准（征求意见稿）中，也可以找到这方面的内容：例1一次水灾大约有20万人的生活受到影响，灾情将持续一个月。请推断：大约需要组织多少顶帐篷？多少吨粮食？要求学生借助实际问题，学会对较大的数字信息作出合理的解释和推断。例2如何利用相似测量旗杆的高度？要求学生通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似，并利用图形的相似解决一些实际问题。例3统计某商店一个月内几种商品的销售情况，对这个商店的进货提出你的建议。要求学生认识统计与概率在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题。例4某市出租车收费标准如下：表1.1（1）列表并用图象表示出租车行驶的里程数和费用的关系。（2）出租车行驶的里程分别为4千米和15千米，各收费多少？（3）现在有30元钱，可乘出租车的最大里程数为多少？（这一活动以实际生活经验为背景，要求学主从表格中读取信息，并将这种信息转换为图形，在此基础上利用两种不同的数学表示方式解决问题）例5一个由父亲、母亲、叔叔和x个孩子组成的家庭去某地旅游，甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的3/4优惠。这两家旅行社的原价均为每人100元。试比较随着孩子人数的变化，哪家旅行社的收费额更优惠？要求学生运用多种数学知识与方法解决问题，以培养学生的创造和探索能力。最近见到澳大利亚数学教学大纲（高中），其中也同样明确地指出，数学的各个方面无论对个人还是对群体都是相当有用的，它在人们的生活和工作中都是十分重要的工具。居家购物时，要数数、测量并完成简单的计算；看地图或房屋平面图、判断房屋装修需要多少油漆时，要运用估计、测量和空间想象技能；概率和统计推断的基本知识帮助我们理解天气报道和经济指数，在选择贷款偿还计划或保险计划的过程中分析利益和风险等等。具体例子如：模拟学生离校后即将面临的金融经历（包括收入、税收、预算等）。调查运营一辆小汽车的费用，包括保险金、注册费、运行费用和维修费，并将估计的金额与有关机构公布的金额相比较。给定一系列包括特性介绍的说明书，由学生分组讨论在限制水量供应的情况下，如何为住宅选择合适的水槽、浴缸、淋浴器的莲蓬式喷嘴。为学校和家庭花园设计最佳洒水系统。建立一个模型用以描述自变量和因变量之间的线性关系，例如，牧草产量和肥料用量、脉搏频率和运动量、手头现金与每周已过天数。先画出散布图，然后用肉眼估计最佳拟合直线，并用来估计回归系数。考察学生学习时间和考试成绩之间的关系（或日常气温与纬度的关系），并讨论导致两者关系不甚密切的因素，以及如何改变模型使之能充分考虑上述因素的作用并提供更好的预测关系。画出某河流流域的平面尺寸图，标明流入河流的支流数，已知流域每一部分的不同水流特点，计算河道所覆盖的土地的总面积，并计算该流域的河水的总体积。研究放射学家如何运用二维X光片评价三维身体部分的状况，如股关节。实际进行一次徒步旅行或在地图上模拟一次旅行，每到一站会提供下一站的方位。先用恰当的仪器测量出给定土地的面积，然后求出将该地围上围墙所需的费用。用电子制表软件对描述单利和复利的数学模型进行比较。计算现有购买力以发放退休金和生活保险金。利用报纸中登载的彩票抽奖的有关表格信息，确定所抽取的数字是否是随机的，即这些数据是否服从均匀概率分布模型。考察统计在众多研究领域，如环境、健康、体育和法医学中的应用。考虑在农场可用土地上两种农作物的定位，目的是使利润最优，其中在劳动力和可用资金上存在约束条件。一名销售员为几家商店服务，他需要从家里出发到达各个商店，确定他的最短路径。研究地方行政机构用于监控水、空气和噪声污染而采用的数据收集方法。研究对数据，包括人事信息，进行整理以便存储在计算机数据库中的方式，例如，病历、图书分类、研究数据等。考察捕获标记方法在估计动物总体数量时的应用（如湖中鱼的尾数）。研究数据收集中的持续现象，例如，在你所处地区12个月内发生连续多少天不下雨的事件，在6个月期限内又如何？