第三章一阶微分方程的解的存在定理(1)

第三章一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(CauchyProblem)(3.2)3.1)00)((),(yxyyxfdxdy1基本概念1）利普希兹(Lipschitz)条件函数),(yxf称为在闭矩形区域byyaxxD00,:上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数0L使得不等式2121),(),(yyLyxfyxf对所有Dyxyx),(),,(21都成立。其中L称为利普希兹常数。2）局部利普希兹条件称函数),(yxf在区域2RG内关于y满足局部利普希兹条件，如果对区域G内的每一点，存在以其为中心的完全含于G内的矩形域D，在D上),(yxf关于y满足利普希兹条件。注意：对G内不同的点，矩形域D大小和常数L可能不同。3）一致利普希兹条件称函数),,(yxf在区域βλαGyxλyxGλ,),(),,(RR2内一致地关于y满足局部利普希兹条件，如果对G内的每一点),,(yx都存在以),,(yx为中心的球λGS，使得对任何),,(1yx，Sλyx),,(2成立不等式2121),,(),,(yyLyxfyxf其中L是与无关的正数。4）解的延拓设方程(3.1)右端函数),(yxf在某一有界区域G中有意义，],[),(baxxy是初值问题(3.1)、(3.2)的解，若],[),(11baxxy也是初值问题的解，且],[],[11baba，当],[bax时，)()(xx，则称解)(x是解)(x在区间],[ba上的一个延拓。5）包络和奇解曲线族的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中，但过这条曲线上的每一点，有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。注意：1）奇解上每一点都有方程的另一解存在。2）通解中不一定包含方程的所有解，例如奇解。3）一般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。2基本定理1）存在性与延拓性定理定理3.1（皮卡(Picard）解的存在唯一性定理）如果函数),(yxf在闭矩形域byyaxxD00,:上连续且关于y满足利普希兹条件，则方程(3.1)存在唯一的连续解)(xy，定义在区间hxx0上,且满足初始条件00)(yxy，这里),(max),,min(),(yxfMMbahDyx。证明分五个步骤完成。步骤1求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；步骤2构造一个连续的逐步逼近序列；步骤3证明此逐步逼近序列一致收敛；步骤4证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；步骤5证明唯一性。注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2（皮亚诺(Peano）解的存在性定理）如果微分方程(3.1)的右端函数),(yxf在某区域G内连续，任给点Gyx),(00，则满足初始条件00)(yxy的解在含0x的某区间上存在。定理3.3对于隐式方程0),,(yyxF，如果在点),,(000yyx的某一邻域中，),,()yyxFa对所有的变元),,(yyx连续，且存在连续的偏导数；0),,()000yyxFb；0),,()000yyyxFc。则方程0),,(yyxF存在唯一的解)(xyy，hxx0（h为足够小的正数）且满足条件0000)(,)(yxyyxy。定理3.4如果方程(3.1)右端的函数),(yxf在有界区域G中连续，且在G内满足局部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过G内任何一点),(00yx的解)(xy可以延拓。直到点))(,(xx任意接近区域G的边界。以向x增大一方的延拓来说，如果)(xy只能延拓到区间mxx0上，则当mx时，))(,(xx趋近于区域G的边界。推论如果G是无界区域，在解的延拓定理的条件下,则方程(3.1)的通过点),(00yx的解)(xy可以延拓，以向x增大一方的延拓来说，有下面的两种情况:a)解)(xy可以延拓到区间),[0x，b)解)(xy可以延拓到区间),[0mx，其中m为有限数，当mx时，)(xy或者无界，或者))(,(xx趋于区域G的边界。定理3.5第一比较定理若函数),(),,(yxFyxf都在平面区域G上连续，且有不等式GyxyxFyxf),(),,(),(成立，则方程),(yxfdxdy满足初始条件00)(yxy的解)(x和方程),(yxFdxdy满足初始条件00)(yxy的解)(x在它们共同存在的区间上，满足不等式：),()(xx当0xx时，),()(xx当0xx时。2）解对初值的连续性与可微性定理定理3.6假设函数),(yxf于区域G内连续且关于y满足局部利普希兹条件，Gyx),(00，),,(00yxxφy是初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的解，它于区间bxa有定义，其中bxa0，那么，对任意给定的0，必存在正数),,(ba，使得当2200200)()(yyxx时，初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的解),,(00yxxφy在区间bxa也有定义，并且εyxxφyxxφ),,(),,(0000，bxa。定理3.7假设函数),(yxf于区域G内连续且关于y满足局部利普希兹条件，则初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的解),,(00yxxy作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是连续的。定理3.8对于方程),,(λyxfdxdy（E）用λG表示区域βλαGyxλyxGλ,),(),,(。假设函数),,(yxf于区域G内连续，且在G内关于y一致地满足局部利普希兹条件，),,,(,),,(000000λyxxφyGλyxλ是方程0λE通过点),(00yx的解，在区间bxa有定义，其中bxa0，那么，对任意给定的0，必存在正数),,(ba，使得当220200200)()()(δλλyyxx时，方程E满足条件00)(yxy的解),,,(00yxxy在区间bxa也有定义，并且),,,(),,,(00000yxxyxx，bxa。定理3.9假设函数),,(yxf于区域G内连续，且在G内关于y一致地满足局部利普希兹条件，则方程E的解),,,(00yxxy作为,,,00yxx的函数在它的存在范围内是连续的。定理3.10若函数),(yxf以及yf都在区域G内连续，则初值问题00)(),(yxyyxfdxdy的解),,(00yxxy作为00,,yxx的函数在它的存在范围内是连续可微的。3基本计算1)近似计算和误差估计第n次近似解的计算公式xxnnhxxxdfyxyx0001000,))(,()()(。第n次近似解的误差公式1)!1()()(nnnhnMLxx。2）求奇解（包络线）的方法a）自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合L，例如}),{(yfyxL，再验证它是否是奇解或是否包含有奇解。b）C-判别曲线法结论1通积分作为曲线族的包络线（奇解）包含在下列方程组0),,(0),,(CyxCyxC消去C而得到的曲线0),(yx中，有的因式可能是奇解。c）P-判别曲线法结论2方程0),,(yyxF的奇解包含在下列方程组0),,(0),,(pyxFpyxFp消去p而得到的曲线0),(yx中。注意：以上方法都需要验证所得曲线是否真是奇解。