灰色预测GM(1,1)模型实现过程

灰色系统预测模型GM(1,1)实现过程灰色系统预测模型GM(1,1)1.GM(1,1)的一般形式设有变量X(0)＝{X(0)(i)，i=1,2，...，n}为某一预测对象的非负单调原始数据列，为建立灰色预测模型：首先对X(0)进行一次累加(1—AGO,AcumulatedGeneratingOperator)生成一次累加序列：X(1)＝{X(1)(k)，k＝1，2，…，n}其中X(1)(k)＝ki1X(0)(i)＝X(1)(k－1)+X(0)(k)(1)对X(1)可建立下述白化形式的微分方程：dtdX)1(十)1(aX＝u(2)即GM(1,1)模型。上述白化微分方程的解为(离散响应)：X(1)(k+1)＝(X(0)(1)－au)ake＋au(3)或X(1)(k)＝(X(0)(1)－au))1(kae＋au(4)式中：k为时间序列，可取年、季或月。2.辩识算法记参数序列为a,a＝[a,u]T,a可用下式求解:a＝(BTB)-1BTYn(5)式中:B—数据阵；Yn—数据列B＝1(n))X1)-(n(X21...1(3))X(2)X(211(2))X(1)X(21(1)1(1)(1)(1)(1)）（－－(6)Yn＝(X(0)(2),X(0)(3),…,X(0)(ｎ))T(7)3.预测值的还原由于GM模型得到的是一次累加量，k{n+1,n+2,…}时刻的预测值，必须将GM模型所得数据X(1)(k+1)(或X(1)(k))经过逆生成即累减生成(I—AGO)还原为X(0)(k+1)(或X(0)(k))，即：X(1)(k)＝ki1X(0)(i)＝11kiX(0)(i)＋X(0)(k)X(0)(k)＝X(1)(k)－11kiX(0)(i)因为X(1)(k-1)＝11kiX(0)(i)，所以X(0)(k)＝X(1)(k)－X(1)(k-1)。4.灰色系统模型的检验检验方法一：残差合格（相对误差）定义：设原始序列)(,),2(),1()0()0()0()0(nxxxX相应的模型模拟序列为)(ˆ,),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0(nxxxX残差序列)(),2(),1()0(n)(ˆ)(,),2(ˆ)2(),1(ˆ)1()0()0()0()0()0()0(nxnxxxxx相对误差序列)()(,,)2()2(,)1()1()0()0()0(nxnxxnk11.对于k＜n,称)()()0(kxkk为k点模拟相对误差，称)()()0(nxnn为滤波相对误差，称nkkn11为平均模拟相对误差；2.称1为平均相对精度，n1为滤波精度；3.给定，当，且n成立时，称模型为残差合格模型。检验方法二：关联合格定义：设)0(X为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟误差序列，为)0(X与)0(ˆX的绝对关联度，若对于给定的00,0，则称模型为关联合格模型。检验方法三：均方差比合格、小误差概率合格定义：设)0(X为原始序列，)0(ˆX为相应的模拟误差序列，)0(为残差序列。nkkxnx1)0()(1为)0(X的均值，21)0(21))((1xkxnsnk为)0(x的方差，nkkn1)(1为残差均值，nkkns1222))((1为残差方差，1.称12ssc为均方差比值；对于给定的00c，当0cc时，称模型为均方差比合格模型。2.称16745.0)(skPp为小误差概率，对于给定的00p,当0pp时，称模型为小误差概率合格模型。表1精度检验等级参照表精度等级相对误差关联度均方差比值小误差概率一级0.010.900.350.95二级0.050.800.500.80三级0.100.700.650.70四级0.200.600.800.60一般情况下，最常用的是相对误差检验指标。5.GM(1,1)预测应用举例设原始时间序列为：)5(),4(),3(),2(),1()0()0()0()0()0()0(xxxxxX679.3,390.3,337.3,278.3,874.2建立GM(1,1)模型，并进行检验。解：1）对)0(X作1-AGO，得[D为)0(X的一次累加生成算子，记为1-AGO])5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(xxxxxX558.16,579.12,489.9,152.6,874.22)对)1(X作紧邻均值生成，令)1(5.0)(5.0)()1()1()1(kxkxkZ)5(),4(),3(),2(),1()1()1()1()1()1()1(zzzzzZ718.14,84.11,820.7,513.4,874.2于是，1718.14184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()1()1()1()1(zzzzB，679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2()0()0()0()0(xxxxY1718.14184.111820.71513.41111718.14184.11820.7513.4BB4235.38235.38221.423832371.11665542.0165542.0017318.04235.38235.38221.423)(11BB221.423235.38235.384969.2301221.423235.38235.384235.384221.42312679.3390.3337.3278.31111718.14184.11820.7513.4832371.11665542.0165542.0017318.0)(ˆ1YBBBa679.3390.3337.3278.3604076.10019051.0537833.0085280.1089344.0028143.0030115.0087386.0065318.3037156.03）确定模型065318.3037156.0)1()1(xdtdx及时间响应式abeabxkxak))1(()1(ˆ)0()1(4986.823728.85037156.0ke4)求)1(X的模拟值)5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)1()1()1()1()1()1(xxxxxX=(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)还原出)0(X的模拟值，由)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(kxkxkx得)5(ˆ),4(ˆ),3(ˆ),2(ˆ),1(ˆˆ)0()0()0()0()0()0(xxxxxX=（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）误差检验表2残差与相对误差计算结果序号实际数据模拟数据残差相对误差)()0(kx)(ˆ)0(kx)(ˆ)()()0()0(kxkxk)()()0(kxkk23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%①平均相对误差%)80.1%69.2%51.0%41.1(414151kk=1.0625%…………（参考表1，1级）②计算X与Xˆ的灰色关联度))1()5((21)1()((42xxxkxSk=)874.2679.3(21)874.2390.3()874.2337.3()874.2278.3(0.40250.5160.4630.404=1.7855)1(ˆ)5(ˆ(21)1(ˆ)(ˆ(ˆ42xxxkxSk)874.26128.3(21)874.24811.3()874.23541.3()874.22318.3(3694.06071.04801.03578.0=1.814442))1(ˆ)5(ˆ())1()5((21))1(ˆ)(ˆ())1()((ˆkxxxxxkxxkxSS)4025.03694.0(21)516.06071.0()463.04801.0()404.03578.0(01655.0091.00171.00462.0=0.0453564525.45999.404535.08144.17855.118144.17855.11ˆˆ1ˆ1SSSSSS=0.9902＞0.90…………（参考表1，为1级）综合：精度为一级，可以用4986.823728.85)1(ˆ037156.0)1(kekx其中，)(ˆ)1(ˆ)1(ˆ)1()1()0(kxkxkx预测。6.GM(1,1)模型的特点总结GM(1,1)是一种长期预测模型，在没有大的市场波动及政策性变化的前提下，该预测值应是可信的。在采用灰色系统理论进行定量预测时，如果存在对预测对象影响较大的因素，就要在定性分析的基础上，寻找原始数据信息的突变点的量化值，然后再对预测值进行必要的修正，使预测值更接近实际情况，提高预测值的可信度，为科学决策提供可靠的数据。另外，若作长期预测，要考虑对上限值的约束条件。应用灰色预测模型GM(1,1)进行预测较之其它常规的时间序列预测法有以下显著的特点。(1)灰色模型是一种长期预测模型，将预测系统中的随机元素作为灰色数据进行处理，而找出数据的内在规律。进行预测所需原始数据量小，预测精度较高，无须像其它预测法要么需要数据量大且规律性强，要么需要凭经验给出系数。(2)理论性强，计算方便，籍助计算机及其程序设计语言或相关软件间接计算，使得数据处理简便、快速、准确性好。(3)用有限的表征系统行为特征的外部元素，分析系统的内在规律。灰色系统理论采用对系统的行为特征数据进行生成的方法，对杂乱无章的系统的行为特征数据进行处理，从杂乱无章的现像中发现系统的内在规律，这是该方法的独特之处。(4)适用性强。用灰色模型既可对周期性变化的系统行为进行预测，亦可对非周期性变化的系统行为进行预测；既可进行宏观长期的预测，亦可用于微观短期的预测。