热工测量仪表第2章误差分析及处理

第二章测量误差的分析与处理主要内容第一节测量误差和不确定度第二节随机误差的分布规律第三节直接测量值的误差分析与处理第四节间接测量误差的分析与处理第五节粗大误差的检验与坏值的剔除第六节系统误差第七节误差的综合第八节不确定度及其合成学习重点：掌握测量误差的三种分类掌握随机误差的正态分布性质及概率计算掌握直接测量值的大子样和小子样本下的分析计算方法学会测量中如何进行误差的综合第一节测量误差和不确定度一、测量误差的分类二、测量的精密度、正确度和准确度三、不确定度第一节测量误差和不确定度一、测量误差的分类分三类：粗大误差、系统误差、随机误差(1)粗大误差：定义：明显歪曲结果，使测量值无效的误差坏值：含有粗大误差的测量值坏值的原因：测量者主观过失，操作错误，测量系统突发故障处理方法：剔除坏值(2)系统误差：定义：同一被测量多次测量，误差的绝对值和符号保持不变，或按某种确定规律变化。前者称为恒值系统误差，后者称为变值系统误差。特点:增加测量次数不能减小该误差原因：仪表本身原因，使用不当，测量环境发生大的改变处理方法：校正——求得与误差数值相等、符号相反的校正值，加上测量值一、测量误差的分类第一节测量误差和不确定度（3）随机误差定义：同一被测量多次测量时，误差的绝对值和符号的变化不可预知特点：单次测量值误差的大小和正负不确定；但对一系列重复测量，误差的分布有规律：服从统计规律随机误差与系统误差之间即有区别又有联系；二者无绝对界限，一定条件可相互转化。一、测量误差的分类第一节测量误差和不确定度二、测量的精密度、正确度和准确度衡量测量结果与真值的接近程度三个术语：精密度、正确度、准确度精密度：对同一被测量多次测量，测量的重复程度。反映了随机误差的大小正确度：对同一被测量多次测量，测量值偏离被测量真值的程度反映了系统误差的大小准确度：精密度和正确度的综合（精确度）反映了测量结果与真值的一致程度第一节测量误差和不确定度精密度高正确度高准确度高一、随机误差的正态分布性质二、正态分布的概率运算第二节随机误差的分布规律第二节随机误差的分布规律一、随机误差的正态分布性质111lim()0limninininnxn1.随机误差的概率密度分布服从正态分布特点：(1)有界性：大误差出现的概率接近于零(2)单峰性：小的误差出现的概率大于大误差出现的概率(3)对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率相同(4)抵偿性：随测量次数n的增加到无穷多时，全部随机误差的平均值趋于零第二节随机误差的分布规律2.正态分布的数学描述：，为特征参数221()exp()22f一、随机误差的正态分布性质(1)真值(2)标准误差或均方根差11limninixn＝221111limlim()nniinniixnn231123)(f图1－2随机误差的正态分布曲线＝0.5=1.0=2.012321越小h越大，精密度越高(3)精密度指数12h0x即＝第二节随机误差的分布规律2.正态分布的数学描述：一、随机误差的正态分布性质第二节随机误差的分布规律二、正态分布的概率运算求出现在区间[a,b]的概率1.公式推导区间选择对称的[-a,a]aPaaPad)exp(0222212令z:置信系数zazPzPaPz)z(dz)zexp(02222α称为显著水平，表示随机误差落在置信区间以外的概率。1Pa结论：1.随机误差δ出现在区间[－a,a]或[-zσ,zσ]的概率（置信概率）第二节随机误差的分布规律二、正态分布的概率运算求出现在区间[a,b]的概率1.公式推导za2.Φ(Z)被称为误差函数，[－a,a]或[-zσ,zσ]为置信区间，置信区间的上下限称为置信限.为Φ(Z)3.称为置信概率或置信水平第二节随机误差的分布规律例1-1在同样条件下，一组重复测量值的误差服从正态分布，求误差|δ|不超过σ,2σ,3σ的置信概率P解:根据题意,z=1,2,3。从表上查得Φ(1)=0.68269,Φ(2)=0.95450,Φ(3)=0.997300,因此：P{|δ|=σ}=0.6826968.3%相应的显著性水平a=1-P=1-0.68269=0.31731二、正态分布的概率运算2.举例第二节随机误差的分布规律(2)P{|δ|=2σ}=0.9545095.5%相应的显著性水平a=1-P=1-0.95450=0.0455(3)P{|δ|=3σ}=0.997399.7%相应的显著性水平a=1-P=1-0.9973=0.00272213701二、正态分布的概率运算2.举例P(δ)P=1-α-zσ0zσδ图1－3置信概率等在图形上的表示α/2/2α第三节直接测量值的误差分析与处理子样：实际测量不可能无穷多次，只是测量“母体”的一部分子样容量：子样中包含的测量个数，容量大的称大子样，容量小的称小子样一般从子样来求母体特征参数μ和σ的最佳估计值第三节直接测量值的误差分析与处理一、测量结果的表示(1):表示公式多次重复测量的测量结果一般可表示为：在一定置信概率下，以测量值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量测量结果X＝子样平均值置信区间半长（置信概率）例如：（P=99.73%)（P=95.45%)xxSxX3xSxX2第三节直接测量值的误差分析与处理二、真值的估计真值的最佳估计值：即测量值子样平均值)xxx(nxn211niixn11第三节直接测量值的误差分析与处理三、标准误差σ的估算值S贝塞尔公式（求母体标准误差的估计值S）真值μ未知，故用残差（剩余误差）来求σ的估算值S,（n-1)称为自由度。xxvii111212nvn)xx(sniinii第三节直接测量值的误差分析与处理如果知道约定真值μ，可用下式算标准误差估计值:自由度为n。n)x(snii12第三节直接测量值的误差分析与处理四、算术平均值的标准误差算术平均值为服从正态分布的随机变量平均值的标准误差为：（1）算术平均值的标准误差是测量值xi的标准误差S的（2）多次重复测量取子样平均值具有更高精密度n=20-30xxxsniix)xx()n(nnss1211n1第三节直接测量值的误差分析与处理（例1－2）对恒速下旋转的转动机械的转速进行了20次重复测量，得到如下一列测量值（单位为(r/min);4753.14757.54752.74752.84752.14749.24750.64751.04753.94751.24750.34753.34752.14751.24752.34748.44752.54754.74750.04751.0求该转动机械的转速（要求测量结果的置信概率为95％）五、举例说明测量结果的表示第三节直接测量值的误差分析与处理解（1）计算测量值子样平均值：（2）计算标准误差估计值S:=2.0(r/min)niiiimin)/r(.xxnx1201047522011niniiinii])x(nx[nn)xx(s1122121111201201222011201iiii])x(x[四、测量结果的表示（2）举例第三节直接测量值的误差分析与处理(3)求子样本平均值的标准误差(4)对于给定的置信概率，求置信区间半长a：根据题意当置信概率为查表1－1得z=1.96所以（r/min)测量结果：X=4752.00.9（r/min,P=95%)xSmin)/r(.nsSx2002xzSa%9590961.S.ax第三节直接测量值的误差分析与处理六、单次测量结果表示如实际做的是单次测量，但已知同样测量条件下的标准误差估计值S，则测量结果表示为X＝单次测量值3S(P=99.73%)X＝单次测量值2S(P=95.45%)【例1－3】在与上例同样的测量条件下，单次测量转动机械的转速为4753.1r/min,求该转动机械的转速（测量结果的置信概率仍要求为95％）第三节直接测量值的误差分析与处理（1）上例计算该测量条件下的标准误差估计值S=2.0r/min（2）给定的置信概率P=95%，求置信区间半长a由置信概率P=95%查表1－1得z=1.96所以测量结果可表达为X=4753.13.9（r/min,P=95%)zSamin)/r(.S.a93961第三节直接测量值的误差分析与处理七、小子样误差分析当子样容量小，如2－3个，如按上述方法推断，很不准确。子样容量愈小，问题越严重。原因在于小子样的平均值偏离正态分布，服从t分布，当用小子样正态分布为条件求得的σ代替母体的σ，就产生较大的偏差xS（1）解决方案：以t分布的置信系数t(α,v)代替正态分布的置信系数z，t(α,v)可通过查表得到。t(α,v)z实质增大了同样置信概率下的置信区间。第三节直接测量值的误差分析与处理（2）小子样的测量结果表示:（在P置信概率下）（3）小子样单次测量结果表示：已知同样测量条件下的标准误差估计值S（在P置信概率下）nS)v,a(txS)v,a(txXxS)v,a(txX七、小子样误差分析第三节直接测量值的误差分析与处理（4）举例[例1－4]用光学高温度计测某种金属固液共存点的温度(0C)，得到下列五个测量值；975，1005，988，993，987。试求该点的真实温度（要求测量结果的置信概率为95％）解：因为是小子样，采用t分布置信系数来估计置信区间。(1)求出五次测量的平均值x)C(.xxii5106998951七、小子样误差分析第三节直接测量值的误差分析与处理(2)求的标准误差估计值(3)根据给定的置信概率P=95%求得显著性水平a=1-P=0.05和自由度v=5-1=4，查表1－2，得t(0.05,4)=2.77。所以测量结果为(P=95%)即被测金属固液共存点温度有95％的可能在温度[976.20C，1003.00C]xxS)C(.)xx(Siix0512854451)C(..S),.(txXx041369894050第三节直接测量值的误差分析与处理用正态分布求上题,从表1-1中查得z=1.96,可求置信区间为[-9.20C,+9.20C],小于[-13.40C,+13.40C],夸大了测量结果的精密程度。[980.20C，998.80C][976.20C，1003.00C]正态分布t分布习题1用热电偶重复测量8次测某恒温箱的温度，显示仪表（动圈表）的示值（以mv表示)分别为：31.56,31.82,31.73,31.68,31.49,31.73,31.74,31.72。试求当置信概率为95％时该组测量值的置信区间（第一种情况：测量值服从正态分布，第二种情况：此次测量属于小样本）2对某一恒定温度进行30次重复测量，求得温度的恒定值t=10520C，该值标准误差得估计值为Si=80C，试求在置信概率95％时该测量结果的置信区间。已知测量值服从正态分布。第五节粗大误差的检验与坏值的剔除一、拉依达准则（3σ标准）二、格拉布斯准则三、例题四、习题第五节粗大误差的检验与坏值的剔除可用多种统计检验法判断是否存在粗大误差一、拉依达准则（3σ标准）规则：（1）计算测量值残差vi的绝对值，如大于其标准偏差的3倍，则存在粗大误差，即:实际使用时，标准误差σ可用其估计值S代替（2）应用上述准则剔除坏值后，应重新计算测量列的算术平均值和标准差估计值S，再进行判断，直到测量列中无坏值3iivxx第五节粗大误差的检验与坏值的剔除?问题依据正态分布得出，故子样容量小时(n10)，坏值剔除的可能性小，故可采用基于t分布的格拉布斯准则一、拉依达准则（3σ