爱琴森不等式

琴森（Jensen）不等式定义如果对于任意的x1，x2∈[a，b],x1x2，都有f(221xx)12[f(x1)+f(x2)]），则称f(x)为区间[a，b]上的凹函数（如图1）。如果都有f(221xx)12[f(x1)+f(x2)]），则称f(x)为区间[a，b]上的凸函数（如图2）。定理6（琴生不等式）如果f(x)为区间[a，b]上的凹函数，则对于任意的x1,x2,…,xn[a，b]，都有f(nxxxn21)1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]如果f(x)为区间[a，b]上的凸函数，则对于任意的x1,x2,…,xn[a，b]，都有f(nxxxn21)1n[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]．两个不等式中等号成立的充要条件是x1=x2=…=xn。例1在ABC中，求证sinsinsin332ABC。证明因为()sinfxx在[0,]内是凸函数，由琴生不等式得sinsinsin3sinsin3332ABCABC，abxy图1abxy图2即sinsinsin332ABC。故不等式成立．由琴生不等式中等号成立的条件可知，当且仅当3ABC时，即ABCV是等边三角形时，不等式中的等号成立．