环球2011年公共基础第15~21

1页5．计算三重积分Dxdxdydz，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。【解】积分区域而于是【解】Ω1是上半球Ω2是Ω1的14，位于第一卦限内。Ω1关于yOz面和zOx面都对称，所以只要被积函数对x及y都是偶函数，就有上述四个选项中，只有当f(x,y,z)=z时，上述关系才成立，故应选（C）。本题也可以采取如下解法。由于Ω1关于yOz面对称，而被积函数关于x是奇函数，故有但2页因此（A）不正确。同理，(B）和（D）也不正确。故应选（C）。1.选择题：由曲面z=22xy及z=x2＋y2所围成的立体体积为＿。【解】由2222zxyzxy得z=l(z=0舍去），故两曲面所围立体在XOY平面上的投影区域为x2＋y2≤1。利用柱面坐标系，可得该立体的体积为故应选（A）。2.选择题：立体Ω={(x,y,z)|4≤x2＋y2＋z2≤9，z2≤x2＋y2｝的体积为——【解】利用球面坐标计算，可得故应选（B)四、平面曲线积分格林公式（一）平面曲线积分的概念与性质1．对弧长的曲线积分的概念与性质设L为平面内一条光滑曲线弧，f（x，y）在L上有界，将L任意划分成n个小段，第i个小段的长度为Vλ，（i,i）为第i小段上任一点，＝max1,...,nssVV,若极限3页总存在，则称此极限为f（x，y）在L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作(,)Lfxyds,即若曲线形构件L在点（x,y）处的线密度为（x，y)，则曲线积分L(x,y)ds就表示此构件的质量M，即当L为闭曲线时，曲线积分记为LÑf(x,y)ds.第一类曲线积分具有如下性质：2对坐标的曲线积分的概念与性质设L为平面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，P（x，y）、Q(x，y)在L上有界，将L任意分成n个有向小弧段¼1iiMM(I=1,2,…,n;M0=A,Mn=B),ixV=xi–xi-1,iyV=1iiyy.任取（i,i）¼1iiMM，记=max1,...,nssVV,若极限总存在，则称此极限为P（x，y）在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作LP(x,y)ds,即类似地定义Q（x，y）在有向曲线弧L上对y的曲线积分。LQ(x,y)dy,4页即对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分。LP(x,y)dx+LQ(x,y)dy通常写成LP(x,y)dx+Q(x,y)dy。若某质点沿有向曲线弧L移动，受变力F=(P(x,y),Q(x,y))作用，则变力作的功为对坐标的曲线积分具有如下性质：其中L-表示与L反向的有向曲线弧。其中a、为常数。2．三重积分的计算法(1）利用直角坐标三重积分的计算(l）利用直角坐标计算三重积分5页设Ω=(（x,y，z）|（x，y）∈Dz,c≤z≤d)，其中Dz是竖标为z的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有(2）利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是(3）利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是（三）例题1．计算Dxyd，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。6页【解】两曲线的交点是（1，-1）、（4,2）。积分区域D（图1-3-4）可表成从而2．计算223Dxyd,其中D是x轴、y轴和抛物线y=1–x2所围成的在第一象限内的闭区域。【解】抛物线y=1–x2与x轴、y轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域D（图1-3-5）可表成从而7页3．计算22xyDedxdy，其中D是由中心在原点、半径为α的圆周所围成的闭区域。【解】在极坐标系中，闭区域D可表成于是4．交换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（B）。2．三重积分的计算法(1）利用直角坐标三重积分的计算(l）利用直角坐标计算三重积分8页设Ω=(（x,y，z）|（x，y）∈Dz,c≤z≤d)，其中Dz是竖标为z的平面截闭区域Ω所得到的一个平面闭区域，则有(2）利用柱面坐标计算三重积分直角坐标与柱面坐标的关系是(3）利用球面坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标的关系是9页（三）例题1．计算Dxyd，其中D是由抛物线，y2=x及直线y=x-2所围成的闭区域。【解】两曲线的交点是（1，-1）、（4,2）。积分区域D（图1-3-4）可表成从而2．计算223Dxyd,其中D是x轴、y轴和抛物线y=1–x2所围成的在第一象限内的闭区域。【解】抛物线y=1–x2与x轴、y轴的交点依次为（1，0）及（0，1），积分区域D（图1-3-5）可表成从而10页3．计算22xyDedxdy，其中D是由中心在原点、半径为α的圆周所围成的闭区域。【解】在极坐标系中，闭区域D可表成于是4．交换积分次序，二次积分化为［解」由所给的二次积分，可得积分区域更换积分次序，得故选（B）。平面曲线积分的计算法1第一类曲线积分的计算法11页设f(x，y)在曲线弧L上连续，L的参数方程为在［a，β］上具有一阶连续导数，且如果曲线L由方程y=y(x)(a≤x≤b）给出，则有如果曲线由方程ρ=ρ(θ)（α≤θ≤β）给出，则有2第二类曲线积分的计算法设函数P（x，y),Q(x，y)在有向曲线弧L上连续,L的参数方程为()()xtyt.当t单调地由a变到β时，点M从起点A沿L运动到终点B，(),()tt在［a，β］或[β,α]上具有一阶连续导数，如果有向曲线L由方程y=y(x）给出（x：a→b)，则有格林公式定理设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）及Q（x，y)在D上具有一阶连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线。上述公式称格林公式。这一公式揭示了闭区域D上的二重积分与沿闭区域D的正12页向边界曲线L上的曲线积分之间的联系，利用这一联系使得两种积分的计算可以相互转化。（四）例题【例1-3-22】计算半径为R、中心角为2a的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（线密度μ＝1）。【解】取圆弧的圆心为原点，对称轴为x轴，并使圆弧位于y轴的右侧（图1一36)，则L的参数方程为于是例题2计算Ly2dx，其中L是半径为a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周（图1-3-7）。【解】L是参数方程为当参数从0变到的曲线弧。因此．13页积分的应用（一）定积分的应用1．几何应用（1）平面图形的面积1）直角坐标情形设平面图形由曲线y=f（x）、y=g（x)（f（x)≥g（x)）和直线x=a、x=b所围成（图1-3-8)，则其面积14页2）极坐标情形设平面图形由曲线＝（)及射线＝a、＝所围成（图1-3-9)，则其面积（2）体积l）旋转体的体积设旋转体由曲线y=f（x）与直线x=a、x=b及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成（图1-3-10)，则其体积（3）平面曲线的弧长l）直角坐标情形设曲线的方程为y=f（x)（axb),f（x）在[a，b]上具有一阶连续导数，则其弧长2）参数方程情形设曲线的参数方程为x＝（t),y＝（t)（at）,（t）、（t）在[a,]上具有连续导数，则其弧长3）极坐标情形设曲线的极坐标方程为＝（）（a），（）在［a，］上具有连续导数，则其弧长s=22d’15页（2）水压力设有平面薄板，铅直放置水中，取薄板所在平面与水平面的交线为y轴，x轴铅直向下（图1-3-12)，设薄板的形状为则薄板一侧所受的水压力为其中为水的密度，g为重力加速度。（二）二重积分的应用1．曲面的面积设曲面Σ的方程为z=f（x，y)，Σ在xOy面上的投影区域为D,f（x，y）在D上具有一阶连续偏导数，则曲面Σ的面积2．平面薄片的质量、重心及转动惯量设平面薄片占有xOy面上的区域D，薄片在D上任一点P（x,y）处的面密度为μ（x,y)，则薄片的质量为薄片重心的坐标为16页薄片关于x轴、y轴的转动惯量为（三）例题【例1-3-25】计算由两条抛物线：y2=x、y＝x2所围成的图形的面积。【解】两条抛物线所围成的图形如图1-3-13所示，x的变化区间为[0,1]，所求面积为计算心形线ρ＝a（1+cosθ）（a0）所围成的图形的面积。【解】心形线所围成的图形如图1-3-14所示，θ的变化区间为[-π,π]。所求面积为17页【例1-3-27】计算由椭圆2222xyab=1所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积为【解】这个旋转体也可看作是由半个椭圆及x轴围成的图形绕x轴旋转而成。x的变化区间为「-a,a］。所求体积为故应选（C）。【例1-3-29】计算摆线x=a（-sin)，y＝a（1－cos）的一拱（02）（图l-3-15）的长度。【解】的变化区间为[0,2],x'（）=a（1－cos)，y’（）=asin，所求弧长为【例1-3–30】求半径为a的均匀半圆薄片（面密度为常量μ）对于其直径边的转动惯量。【解】取坐标系如图1-3-16所示，薄片所占闭区域18页所求转动惯量即半圆薄片对于x轴的转动惯量其中M=212a为半圆薄片的质量。第四节无穷级数一、数项级数（一）常数项级数的概念和性质1．常数项级数的概念数列un（n=1,2,…）的各项依次相加的表达式1nnu称为无穷级数，第n项un称为级数的一般项或通项，前n项之和Sn=1niiu称为级数1nnu的部分和。若limnns=S存在．则称级数1nnu收敛，并称级数1nnu的和为S;若limnns不存在，则称级数1nnu发散。当级数1nnu收敛时，rn=1iinu称为级数的余项，有limnnr=0。2．常数项级数的性质（1）若1nnu=S,则1nnku=k1nnu=ks（k为常数)；（2）若1nnu=S，则1nvn=T,则1n（unvn)=1nnu1nvn=ST;（3）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和；（4）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；19页（5）若级数1nnu收敛，则limnnu＝0；反之，不一定成立。3．典型级数（l）几何级数1naqn-1，当q1时，收敛于1aq，当q1时，级数发散；（2）p-级数1n1pn（p0)，当p1时，级数收敛，当0＜p1时，级数发散.（二）常数项级数的审敛法1．正项级数审敛法若级数1nnu，其中un0（n=1,2，…），则称级数1nnu为正项级数。（l）收敛准则：正项级数收敛的充分必要条件是其部分和有界。（2）比较审敛法：设1nnu、1nvn为正项级数，对某个N0，当n＞N时，0unCvn（C0为常数）。若1nvn收敛，则1nnu收敛；若1nnu发散，则1nvn发散。比较审敛法的极限形式：若limnnnuv＝l（vn0)，则当0＜l＜十时，1nnu和1nvn同时收敛或同时发散。（3）比值审敛法：设1nnu为正项级数，若limn1nnuu=l，则当ll时，级数收敛；当l1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。（4)根值审敛法：设1nnu为正项级数，若limnnnu=l,则当ll时，级数收敛;当l1或l=+时，级数发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散。20页2．任意项级数审敛法若级数1nnu，其中un（n=1,2，…）为任意实数，则称级数1nnu为任意项级数。若级数的各项正负交替出现，即可写作1n（-1）nun（un0）或1n（-l）n+lun（un＞0），则称级数为交错级数。若级数1nnu为任意项级数，而级数1nun收敛，则称级数1nnu绝对收敛；若1nnu收敛，而1nun发散，则称级数1nnu条件收敛。（l）莱布尼兹判别法：若交错级数1n（-l）nun（un＞