现代控制理论鲁棒控制

鲁棒控制理论初步一、反馈控制系统的基本结构做如下变换()()dssdclsclHyeRHruHyRuHrHrHyueDRuHrDHr结构图化成若不考虑传感器动态时，则为常数，可选择，上结构图就变成单位负反馈的结构。HyHrHy定义：R：参考输入W：外扰动输入（常值或随机信号，对飞行器为高斯白噪声或有色噪声）V：噪声输入（随机信号、有色噪声）Y:系统输出二、控制系统的性能指标描述(1)系统对常值扰动信号所允许的稳态误差，或对随机扰动信号的滤波能力或误差(2)对多项式参考输入信号，如斜坡和阶跃信号所允许的稳态跟踪误差(3)系统动态性能对模型参数变化的灵敏度(4)系统在阶跃参考输入或扰动输入时的动态性能，如上升时间、超调量、调节时间等(5)闭环系统的稳定性重点要研究的是（1）和（3）三、例子：滚转速度控制系统飞机理想滚转时，则微分方程模型为：其中，为滚转角速度，是副翼偏角，外扰动（外扰动一般等效为滚转力矩，在此方程中，为转动惯量）。aa=LpDpLpLpaDLx=JDL外扰力矩xJ飞机滚转模型为：aaaaa11()()()[()()]DDpppLLpssLssLssLsLsLL开环控制系统为设Hr=1，并且选择比例控制，则ololDKaaa11()()()ololDDpppLKLpsKRLRLLsLsLsL设：R和的稳态值分别为R=a，=b则：的稳态解为定义：从R到的传递函数为开环增益设：则DLDLpa01|sssolppLppKabLLpaa()olololppLLTsHrDKsLsLaololpLTKLapLALololTKA闭环控制系统aaaa()1clclpclpclyclypLDDLsLpTsHrHrLRsLDLHDHsL其中为开环传函或称回路传函设：Hr=Hy=1，，则回路增益为aclpDLHysLDKclclaa()()clpclKLpsRsLKLaclpKLL，，而在W的作用下（设R=0，V=0）而在V的作用下（设R=0，W=0）aa()()clpclKLpsVsLKLa1()()pclpsWsLKL用迭加原理，可得设V的稳态值为c稳态解为aaaaa1()()()()clclpclpclpclKLKLpsRWVsLKLsLKLsLKLaaaaaaaaaa11111clclsspclpclpclclclpppclclclpppKLKLpabcLKLLKLLKLLLKKLLLabLLLKKKLLLc1.结论a.若在常值扰动作用下，闭环系统的误差比开环系统小倍，其中是s=0时的回路增益b.若在常值噪声作用下，闭环系统是无法克服的，并且常值噪声几乎对输出的影响与输入的影响是相当的a1(/)clpKLLa(/)clpKLL因此：（1）对传感器来说必须增加信噪比（2）Hy应设计动态环节来抑制噪声计算实例若设、、a=1、b=0.17、开环系统无扰动时有扰动时误差或a27.276L1.7pL0.06olK'27.2760.0610.961.7assolpLpKaLa''10.170.961.061.7ssolppLpKabLL'''||0.1olsssspp'0.1100%10.42%0.96olssP闭环系统无扰动时有扰动时误差或故闭环系统比开环系统的抗干扰能力提高了100倍以上。aa'(/)16010.991(/)1160pssclclpLLpKaKLLa'''(1/)(1/1.7)0.990.170.99061(/)1160pssssclpLppbKLL'''||0.0006clsssspp'0.0006100%0.06%0.99clssP四、系统增益对参数不确定性的灵敏度1.开环系统：系统增益即开环增益（s=0的值）参数的不确定性可表达为：飞机飞行时由初始状态A变化为,这样开环增益则从变化为a()olololpLTsKKALAAolTololTT则考虑开环增益的相对变化误差定义为()olololololololTTKAAKAKATKAololTKAololololTKAATKAA且定义为关于参数A从输入R到输出的系统增益的灵敏度函数，开环系统的系统增益灵敏度为：2.闭环系统：系统的增益为(/)/(/)olololTASTTAAp1olTAS0(/)|1(/)1aaclpclclsclpclKLLKApTRKLLKA当时，为求则考虑到：（）故：（一个好的系统的灵敏度应足够的小）AAAclclclTTT()1()clclclclAAKTTAAKclclTTclcldTTAdA()clclTTA()clclclclTdTAATTdAA从而闭环系统的系统增益的灵敏度的定义为与开环系统相比：在反馈子系统中，系统传函的增益（s=0）对受控对象参数的灵敏度是开环系统的倍。2(1)(1)()1(1)1olTclclclclclclAclclclcldTKAKKAKAKASTdAKKAKA1/(1)clKA计算实例：闭环系统表明若变换10%，即则系统增益此时仅取为10而开环系统因此：则a110.00621(/)11016olTAclpSKLLa(/)pLL10%AA0.062%clclTTclK1clTAS10%AA10%ololTT所以闭环系统的灵敏度仅为开环系统的0.0062倍，能极大地抑制参数的不确定性。五、抗噪声问题建立误差方程则仿照灵敏度的定义EpRaaaaaa1()111clppclclclpppLLKsLsLWERVLLLLKKKsLsLsL定义灵敏度函数补充灵敏度函数则误差方程()()11()()DsGsTDsGsa''WERTVGWWLa111()()1clpLDsGsKsL若设计D(s)，使，意味着（1）（2）（1）可以做到（2）不可能，如何解决0E00T假定：（1）R和W并不是在所有频率范围内都有很大的值，即R和W的变化是不一致的，变化的范围也不同（2）可以设计Hy，使得V经过Hy后在低频段保持有较小的值，即传感器只在对象变化时有输出，类似高通滤波器。（3）设计D，使得在R和W主频范围内很小，也可以使得T在高频范围内的分量很小，这样就可以获得。六、根据灵敏度函数定义的性能指数1.到目前为止，还是通过系统对简单的阶跃或斜坡输入信号的瞬态响应来描述系统的动态性能（如二阶系统）。2.对于实际的输入信号，更为精确的描述是将信号看成是有一定功率谱密度的随机过程。3.设u(t)是单变量随机过程。一般而言，随机过程的统计特性（平均值、均方差、相关函数和频谱函数等）也是随时间变化的，这种过程称为非平稳随机过程，但非平稳随机过程的处理方法还没有成熟的方法。目前的应用中，往往限于研究平稳随机过程，即该过程的统计特性不随时间变化，因此功率谱密度只研究平稳随机过程的特性。4.平稳随机过程u(t)的统计特性平均值定义为平稳随机过程u(t)的平均值或称高斯随机过程01lim()2TuTtutdtT0uu(t)的均方差定义为U(t)的相关函数在物理意义上，反映了随机过程u(t)在时间坐标轴上的先后相关程度。2201lim()2TuTtutdtT01()lim()()2TuTtRututdtT()uR（1）若则（2）为偶函数（3）表明若间隔无限增大，u(t)失去了先后相关性（4）为u(t)的特征时间02(0)uuR()()RRlim()0R201()tuTRd相关函数的Fourier变换即是相关函数的频谱函数其中：是时间频率，由于，则()uR1()()2juuRed()()uuRR()()uu相关函数是频谱函数的Fourie逆变换因此可见频谱曲线与轴范围的面积分就等于u(t)的方差。()()juuRed20(0)2()()uuuuRdd()u2u而均方差则表征了随机过程的功率或能量的大小。因此频谱函数表征了随机过程的功率按频率的分布。（频率（）内功率的大小），故称为功率谱密度。u()u0()u在飞行环境中，一般大气紊流均采用功率谱密度的形式来表示，只是采用空间频率作为自变量，空间频率和时间频率之间的变换如下（为飞行器的速度）xVxV两种大气紊流模型GJB185-86(1)德莱顿模型，解析函数，适合数学仿真(2)冯卡门模型，适合设计两种模型在高频段略有差异为了简化分析，但又不失一般性，可以认为这些信号是由某特定范围内的正弦信号合成的。比如经常描述的参考输入信号，它是一组具有不同频率的正弦信号的和，而各种频率的正弦信号的幅值|R|可由下图描述从图中可以看出：(1)由正弦信号分量组成的信号，一直到大于后，幅值才极小可忽略。于是可以这样描述性能指标：对于任何驱动频率，幅值为的正弦信号,系统误差的幅值应小于。100100|()|Rjbe考虑单位反馈系统，则误差的频率响应为（1）1()()1EjRsjRDG其中，s为灵敏度函数（2）灵敏度函数也正是的乃奎斯特图上的曲线到（-1，0）点距离的倒数，因此越大，表示曲线到（-1，0）点的距离越小，曲线越接近（-1，0）点。11()11()SjDGDGj()DGs()DGj|()|Sj()DGj()DGj根据式（1），频域内的误差指标可表示为（3）bEjsjRjsjRje为了使问题规范化，以及不必每次定义幅值R和误差限度。定义频率的实数方程：则此（3）式可以写为（4）be1()bRWe1||1SW若，则，带入(4）得到（5）|()|1DGj1()()SjDGj1|()|DGjW这个约束条件可以看作是稳态误差指标的延伸，只不过信号频率由的一点变成了上述性能指数是动态性能指数的延伸而已。0010七、鲁棒性指标除了保证系统有良好的动态性能，还应考虑系统的鲁棒性，即在可预期的不确定性因素的影响下，受控对象的传函发生变化时，针对各个传函所做的设计仍是稳定的。为了描述这种不确定性，需首先定义不确定性。不确定性：主要是指对象的不确定性。理由：没有任何一个物理系统可以用准确的数学模型代表。由于这一原因，我们必须了解建模误差对控制系统性能的影响。1.对象的不确定性不确定对象的建模的基本方法是用一个集合来代表对象模型，这个集合可以是结构化的或者非结构化的。结构化：系统中存在有限个不确定参数minmax21{:}1Maaasas非结构化：系统在每个频率下其频率响应位于复平面的一个集合内一般来说，非结构化更为重要，因为它可以导出简单而实用的设计理论。()()iiiiGjMPj具体来说，考虑这样的不确定问题，即其中：是标称对象的传递函数的频率响应是由于参数的不确定性或摄动造成的实际对象模型是一固定的、稳定的传递函数是一可变的、稳定的传递函数，且0202()()(1)()()(1)GjGjWP