金属类材料的屈服面特性L

屈服与否与球张量无关，就是说与OP′长度无关，只与偏张量有关。当P达到屈服时，L′上任一点都屈服，说明屈服面是个柱面，母线L′与L平行且垂直于π平面。屈服曲面与π平面的交线称为屈服线C。πσ3σ1σ2PP′OP′′LL′一个应力状态是否会进入屈服只取决于它π平面上的投影M金属类材料的屈服面特性在π平面上取直角坐标系（x,y）则平面上一点坐标S(x,y)：133030coscosxσσ′′=°−°1323233232σσ=−1312()σσ=−2133030sinsinyσσσ′′′=−°−°213126()σσσ=−−σ′2θσ′1σ′3xySr30°120°如果规定在简单拉伸时Tresca屈服条件和Mises屈服条件重合σ′2σ′1σ′3xyMises圆内接Tresca六边形则在π平面上Tresca六边形内接于Mises圆。σ′2σ′1σ′3xyMises圆外切Tresca六边形如果规定在纯剪切时Tresca屈服条件和Mises屈服条件重合则在π平面上Tresca六边形外切于Mises圆23σs2σs10.1屈服条件第十章经典弹塑性本构关系（3）岩土类材料的经典屈服条件a、广义Tresca屈服条件考虑球应力张量对材料屈服的影响，将Tresca屈服条件推广为广义Tresca屈服条件()1312aIkσσ−=+σ3222,,333kkkaaa⎛⎞−−−⎜⎟⎝⎠()()()1311212312220aIkaIkaIkσσσσσσ−−−×−−−×−−−=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦如不清楚主应力的大小顺序，上式可写成：广义Tresca屈服面在应力空间的屈服曲面为一正角棱锥体面，中心轴与等倾线重合，在π平面上的屈服曲线为正六角形，形状和Tresca屈服条件相同。b、广义Mises屈服条件即Druker-Prager屈服条件（1952）同样为了反映球应力张量的影响，Drucker(德鲁克)和Prager(普拉格)(1952)首先提出在应力空间中为一圆锥形屈服面的屈服条件，其可看做Mises屈服条件的推广，又称广义Mises屈服条件。21JIKα=+c、M-C屈服条件1773年库伦提出了一个重要的准则（“摩擦”准则）。认为：当材料某一斜面上的剪应力达到某一值时，材料屈服材料自身的特性面上的正应力因素),,(σϕτcf=屈服的一般形式ϕστtgc+=对于土或正应力不大的岩石，有线性关系：CoulombCoulomb形式0cos2sin)()(3131=⋅−+−−ϕϕσσσσcMohr形式σ2不影响屈服σ1≥σ2≥σ3131313132sin2ctanctan2ccσσσσφσσσσφφ−−==+++⋅+⋅一般：主应力的大小次序是未知的{}{}{}0]cos2sin)[()(]cos2sin)[()(]cos2sin)[()(213213232232231231=⋅++−−⋅⋅++−−⋅⋅++−−ϕϕσσσσϕϕσσσσϕϕσσσσccc213131232331212()[()sin2cos]()[()sin2cos]()[()sin2cos]cccσσσσσϕϕσσσσσϕϕσσσσσϕϕ−=±++⋅−=±++⋅−=±++⋅为中主应力为中主应力为中主应力或：0cos)sinsin31(cossin3121=−−+ϕϕθθϕσσcJI当时，0ϕ=22coscos0JCJkσσθθ−=−=Tresca条件()213213132132113122221tansin312322sin3323JJIIJJσσσσσσσσσθθσσσσσσθ−−−−=⇒=−+=−⇒+=−1313213221(),2cos2cos22xrJJJσσσσσσσθσσθ−=−=⇒=⇒−=13131313sin2cos22sinsin2cos022mFCSSSSCσσσσϕϕϕσϕϕ−+=−−−+=−−−=()()13131322222xSSSSxσσ=−=−⇒−=sincossin22mxCyϕϕσϕ=−+OABσ′2σ′3σ′1213213131322633666SSSSSySSyσσσ−−−−+===−⇒+=−以压应力为正，σ1≥σ2≥σ3对理想弹塑性材料，初始屈服曲面是固定不变的，应力状态点不可能落在曲面外；另初始屈服曲面是初始弹性状态的边界，因此材料一直保持弹性应力－应变关系，屈服条件可以写成：0()ijFσ=对强化材料，随加载，屈服极限会不断提高，即材料发生塑性变形后，其后继弹性范围的边界是变化的，其边界称后继屈服条件，也叫加载条件，几何上称后继屈服曲面或家载曲面。后继屈服条件与初始屈服条件不同，它不仅与瞬时应力状态有关，还与材料塑性变形历史有关。（4）后继屈服条件（金属类材料）用f(σij)=0表示初始屈服面；用φ=0表示后继屈服面对理想弹塑性材料：f=φ对强化材料：φ(σij,hσ)=0hσ是内变量，记录加载历史的参数。随塑性变形的发展，后继屈服面或加载面也随之改变。单轴拉伸下的强化随加载，屈服极限会不断提高，称为强化或硬化新的屈服极限：(σs)new=Max(σhistory)后继屈服条件（也称加载条件）σ＝(σs)new处于屈服状态σ(σs)new，处于卸载状态Max(σhistory)随塑性变形历史单调增长Max(σhistory)＝ψ(εp)后继屈服条件即加载条件也可表示为σ−ψ(εp)＝0σεσεpsBσ*A'COEεeσpA复杂应力状态使用一组内变量ξβ（β=1，2，…，n）描述塑性变形历史，后继屈服条件f(σij，ξβ)=0随塑性变形的发展，ξβ不断变化，后继屈服面或加载面也随之改变。定义内变量ξβ应该根据材料内部细微结构不可逆的改变，通常根据宏观实验结果，引用宏观变量定义内变量ξβppijpijddddε=εε=ξβ32ppijijdwdd=εσ=ξβ累积塑性应变与等效应变的不同将整个加载过程看作是许许多多的应力增量过程dσ所组成。将每一个应力增量过程中所产生的塑性应变增量计算出然后累加起来，即计算积分等效塑性应变只有在塑性应变增量各分量之间的比例在整个加载过程中始终保持不变时，两者才能相等pijdεpdε∫εpdpεpijpijpεε=ε32当应力状态σij处在加载面上f(σij，ξβ)=0，再施加增量dσij，产生三种情况：（1）加载：dσij指向加载面外（2）中性变载：dσij沿着加载面（3）卸载：dσij指向加载面内加载卸载中性变载加载面ndσdσdσσij应力状态与屈服面的关系f(σ,ξ)=0ijβf(σ+dσ,ξ+dξ)=0ijβijβ0=ξξ∂∂+σσ∂∂ββdfdfijij增量后f(σij+dσij，ξβ+dξβ)=0任何一种应力状态都不能位于加载面之外增量前f(σij，ξβ)=0，一致性条件：随加载过程，内变量ξβ不断地增加中性变载或者卸载时，则内变量ξβ保持不变总之：内变量ξβ只会增加，不会减少。且只有产生新的塑性变形时，它才会增加。是塑性变形的不可逆性所决定的。内变量的性质用f(σij)=0表示初始屈服面；用φ=0表示后继屈服面对理想弹塑性材料：f=φ对强化材料：φ(σij,hσ)=0hσ是内变量，记录加载历史的参数。随塑性变形的发展，后继屈服面或加载面也随之改变。实验资料表明φ(σij,hσ)=0关系复杂，至今很难用一个表达式完善写出，因而理论分析时还需采用某种假设。等向强化模型随动强化模型组合强化模型等向强化后继屈服面后继屈服函数：0()()ijfKhαφσ=−=K是单调递增函数。进一步解释：等向强化可理解为材料某一方向上因加载屈服极限得到提高，所有其它方向的屈服极限都将因此而得到同等程度的提高。(1)K取为等效塑性应变增量的函数：()PKdψε=∫23Pijijdddεεε=函数可根据材料简单拉伸(或纯剪切)试验得到，且取φ（0）=σs(2)K取为塑性比功的函数：()PKFdW=∫PPijijdWdσε=函数可根据材料简单拉伸(或纯剪切)试验得到，且取F（0）=σs在复杂应力状态下，K是有两种取法：从几何上看，后继屈服函数与初始屈服函数形状相似，加载面中心位置和形状不变。后继屈服函数对加载历史的依赖性只表现在屈服面仅由加载路径中所曾达到的最大应力点所决定。AB路径得出的加载面为A路径得出的加载面为B该假定的物理意义：假定材料在强化后仍保持各向同性的性质。Mises初始屈服条件函数ψ可通过单轴拉伸下实验曲线σ∼ε确定加载（后继屈服）条件230sJσ−=2203sJσ−=如果采取Mises屈服条件，后继屈服函数：0Kφσ=−=230()Jβξ−Ψ=302()ijijssβξ−Ψ=0()pdσε−Ψ=单轴下的随动强化某一个方向上的屈服极限提高，则相反方向上的屈服极限会降低。由A点加载到B点，屈服应力由原来的σs提高到σ*。σB=σ*σs再反向加载，当应力达到σB−σC=2σs时屈服，因而⎜σC⎜σs。s反向屈服点sABC*随动强化后继屈服条件后继屈服函数：0ˆ()ijijfφσσ=−=特别当材料是线性强化的时候，后继屈服函数C为正常数，表征材料强化的大小。ˆPijijCσε=f是初始屈服函数，是后继屈服曲面中心在应力空间中的移动位置称背应力（backtress），它是hα的函数。当取为记录材料塑性变形历史的参数时，就是的函数，该函数也可根据单向拉压试验确定。ˆijσPijεˆijσPijε0()PijijfCφσε=−=初始屈服面后继屈服面具体到Mises条件：0sfσσ=−=Prager随动强化模型Prager随动强化模型可写成背应力增量应平行于塑性应变增量式中c是材料常数，由试验确定。pijijdcdσε=32−=−−()()()pppijijijijijijcscscσσεεε具体到Mises条件：0sfσσ=−=1232133sssσσ===−()PijijijsCsε−以代302()()PPijijijijssCsCφεεσ=−−−=得相应后继屈服函数简单拉伸时12312PPPPPεεεεε===−∴302PsCφσεσ=−−=32PsCσσε=+若材料的拉伸曲线：32srσσ=则可定常数在π平面上随动强化使Mises初始屈服圆平移到圆心为，半径不变的圆。PsPEσσε=+23PCE=PCε组合强化后继屈服面将等向强化模型和随动强化模型结合起来，形成更一般的组合强化模型。0ˆ()ijijfKφσσ=−−=和K都随加载历史而变化。ˆijσ几何特点：加载过程中加载面大小、和中心位置都在同时改变，它是前面两种情况的综合，初始屈服面后继屈服面大量试验表明有的结果接近随动强化模型，有的显示出在加载点附近加载面曲率增大。一般来说，加载历史越复杂，得到的加载面越不规则，越难描述。加载面的形状还与后继屈服的定义有关，采用比例极限、名义屈服应力、弹性区外推等不同定义方法，得出的加载面可以很不同。