群论-第1章-群论基础(1)

目录第1章群论基础11.1基本概念.....................................11.1.1群的定义.................................11.1.2群的乘法.................................11.1.3群的生成元...............................31.1.4更多例子.................................41.1.5半群,环和域*..............................41.2群的分拆.....................................51.2.1集合的分拆...............................51.2.2共轭类..................................61.2.3子群和陪集...............................71.2.4Lagrange定理..............................71.2.5不变子群和商群.............................81.2.6双陪集*.................................91.3群的分类.....................................91.3.1同态和同构...............................91.3.2同态基本定理..............................101.3.3其它的同态定理*............................111.4群在集合上的作用................................121.4.1置换群..................................121.4.2置换可表示为轮换的乘积.......................151.4.3置换群的共轭类.............................161.4.4置换表示.................................171.4.5轨道...................................181.5群的直积.....................................191.5.1直积...................................201.5.2半直积..................................201.6有限群的分类定理*...............................211.6.1Abel群的分类..............................211.6.2非Abel群的分类.............................221.6.3小阶群表.................................22参考文献25文件生成时间:2013年9月28日试用讲义.请不要在网上传播.第1章群论基础§1.1基本概念§1.1.1群的定义定义1(群)设G是一些元素的集合,G={g,h,···}.在G中已经定义了二元运算·,如果G对这种运算满足以下四个条件,•封闭:∀f,g∈G,f·g∈G;•结合律:∀f,g,h∈G,(f·g)·h=f·(g·h);•存在唯一的单位元素:∃e∈G,∀f∈G,ef=fe=f;•有逆:∀f∈G,∃唯一的f−1∈G,f·f−1=f−1·f=e,则称代数结构(G,·)是一个群,二元运算“·”称为群的乘法.二元运算是一种映射,φ:G×G7→G,φ(f,g)=h⇐⇒f·g=h.在不引起歧义的情况下,我们会省略乘法符号.群G的元素个数称为群的阶(order),记为|G|.根据群的元素个数,可以将群分为有限群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限).在无限群中,连续群可以用一个或多个实参数来标记群的元素.另一种对群的分类方式,是按照群的乘法是否可以交换位置.定义2(Abel群)G是群,并且满足∀a,b∈G,ab=ba,(1.1.1)则称群G是Abel群.Abel群的乘法一般又称为加法.例1实数的集合按数值加法运算(R,+)构成Abel群.例2非零实数的数值乘法(R\{0},*)构成Abel群.例3n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n,C).§1.1.2群的乘法有限群的乘法规则可以用乘法表来表示.一元群{e}的乘法规则为ee=e.对于二元群G={e,a},有ee=e,ea=a,ae=a.a2def=aa有两种可能,•a2=e;4·2·第1章群论基础eaeeaaae表1.1:二元群的乘法表eabeeabaabebbea表1.2:三元群的乘法表•a2=a,两边同时乘以a−1,得a=e.8于是可得乘法表1.1.三元群G={e,a,b}的乘法规则同样可以用定义群的四个条件确定.其中a2有三种可能,•a2=e,则–ab=eb=a−1=a,8;–ab=ab=e,8;–ab=ba=e,8.•a2=aa=e,8.•a2=b,ab=e,ba=e,b2=a.4所以三元群只有一种,其乘法表列于表1.2中.很明显,以这种方式来确定乘法表非常不方便.后面讲述的一系列定理将帮助我们有效地研究群的性质.从刚才的乘法表中可以看出,群的各个元素在每一行都出现了一次,在每一列中也出现了一次.这是一个普遍性质.先引进一些记号.设G是群,a∈G,A⊆G,B⊆G,aAdef={ax|x∈A},(1.1.2)Aadef={xa|x∈A},(1.1.3)A−1def={x−1|x∈A},(1.1.4)ABdef={xy|x∈A,y∈B}.(1.1.5)定理1(重排定理)群G的乘法表的每一行(或列)都含有所有元素,只是排列顺序改变了:a∈G,aG=G,Ga=G.(1.1.6)证明G封闭⇐⇒∀g∈G,ag∈G⇐⇒aG⊆G.同样可得a−1∈G,a−1G⊆G,G⊆aG.故aG=G.重排定理(1.1.6)对所有的群都成立,包括无限群.§1.1基本概念·3·连续群的乘法无法列表,例如U(1)def={g(θ)|g(θ)def=ei,θ∈[0,2π]}(1.1.7)其乘法规则为g(θ3)=g(θ1)g(θ2),(1.1.8)θ3=θ1+θ2mod2π(1.1.9)其中φ(θ1,θ2)=θ1+θ2mod2π(1.1.10)称为连续群的结合函数,相当于有限群的乘法表.§1.1.3群的生成元先来看一类特殊的有限群.定义3(循环群)Cndef={e,g,g2,···,gn−1|gn=1}.(1.1.11)其中gk表示k个g相乘.循环群的所有元素都可以由g自乘得到,所以我们把它称为循环群的生成元,并记成Cn=⟨g|gn=e⟩.(1.1.12)一般的群可能有多个生成元,这些生成元的集合称为群的生成元组.例如G=⟨p,q|p3=e,q2=e,(qp)2=e⟩(1.1.13)有2个生成元,生成元的乘法满足如下的“对易关系”,(qp)2=q(pq)p=epq=q−1p−1=qp2,(1.1.14)于是,生成元的任意乘积可以写成标准的形式qmpn,从而|G|=6.群的乘法见表1.3.epp2qqpqp2eepp2qqpqp2ppp2eqp2qqpp2p2epqpqp2qqqqpqp2epp2qpqpqp2qp2epqp2qp2qqppp2e表1.3:⟨p,q⟩群的乘法表eabcdfeeabcdfaaedfbcbbfedcaccdfeabddcabfeffbcaed表1.4:D3群的乘法表对有限群,必有∀g∈G,∃n,m∈N,nm,gn=gm.(1.1.15)记kdef=n−m∈N,那么gk=e,(1.1.16)称使上式满足的最小自然数k为元素g的阶.有限群的生成元的数目是有限的,其中最小的数目称为有限群的秩(rank).·4·第1章群论基础§1.1.4更多例子例4(正三角形的对称群)D3={e,a,b,c,d,f},如图1.1所示,乘法规则列于表1.4e不动,a绕1轴转180◦,b绕2轴转180◦,c绕3轴转180◦,d绕z轴逆时针转120◦,f绕z轴逆时针转240◦.Oxy231ABC图1.1:正三角形的对称群中.例5(四元群)除了循环群C4外,还有一个四元群–反演群(Klein群)V4,其乘法规则如表1.5所示.其中P表示空间反射,T表示时间反演,PT=TP.V4是Lorentz群的分立子群.1PTPT11PTPTPP1PTTTTPT1PPTPTTP1表1.5:反演群的乘法表例6(二维Euclid群)二维空间的转动及平移变换(x′1x′2)=g(θ,a,b)(x1x2)def=(cosθsinθ−sinθcosθ)(x1x2)+(ab)(1.1.17)例7(仿射群)群元素g(α,β)对实数的作用定义为x′def=g(α,β)x≡αx+β,(1.1.18)这是一个2参数的非Abel群.例8(SL(2,C)){A2×2|Ajk∈C,detA=1}.在矩阵乘法下构成群.§1.1.5半群,环和域*定义4(半群)如果一个集合S上定义了二元运算“·”,且二元运算满足封闭性和结合律,则称代数结构(S,·)为半群.§1.2群的分拆·5·定义5(环)在集合R上定义两个二元运算加法“+”和乘法“·”,并且满足•(R,+)是Abel群(其单位元记为0);•(R,·)是半群;•满足分配律,∀a,b,c∈R,a(b+c)=ab+ac,(b+c)a=ba+ca,(1.1.19)则称代数结构(R,+,·)为环.如果环的乘法满足交换交换律则称为交换环;如果环的乘法有单位元素则称为含幺环.例9(多项式环)自变量x的实系数多项式在加法和乘法构成含幺交换环.定义6(体和域)如果含幺环的非零元素都有逆,则称为体.如果含幺交换环的非零元素都有逆,则称为域.例10(四元数体)实四元数a+bi+cj+dk构成体.例11有理数域Q,实数域R和复数域C.§1.2群的分拆研究群的方法和高等数学中的方法不同.一个基本的方法是把群“切开”来研究.§1.2.1集合的分拆群是集合,所以我们回顾一下在集合论中怎样把集合分开.定义7(关系)集合A×A的一个子集又称为集合A上的关系.设在集合A上定义了关系R,则a,b∈A有R关系⇐⇒(a,b)∈R⇐⇒a∼b.(1.2.1)定义8(等价关系)集合A上满足以下三个条件的关系称为等价关系:∀a∈A,a∼a;(自反)(1.2.2)a∼b⇒b∼a;(对称)(1.2.3)a∼b,b∼c⇒a∼c.(传递)(1.2.4)例12在人际关系中,“认识”、“朋友”、“年长”不是等价关系;“同乡”、“同学”、“同民族”是等价关系。定义9(等价类)集合A上定义了等价关系“∼”,设a∈A,称{b|b∈A,b∼a}(1.2.5)为(元素a的)等价类.元素a又称为这个等价类的代表元.集合A的所有等价类各取一个代表元,构成的集合称为代表元系.·6·第1章群论基础定义10(集合的分拆)设集合A的子集X1,X2,···,Xn满足n∪i=1Xi=A,(1.2.6)Xi∩Xj=∅,foralli̸=j,andi,j=1,2,···,n,(1.2.7)则称这些子集构成集合A的一个分拆.命题1集合的所有等价类构成一个分拆.§1.2.2共轭类要把群进行分拆,必须先定义一个等价关系.定义11(共轭)群G中的两个元素a,b∈G满足∃g∈G,a=gbg−1,(1.2.8)则称它们共轭,记成a∼b.这个定义和线性代数中矩阵的相似变换类似.命题2(共轭类)设G是群,则(1)共轭关系是等价关系.(2)单位元自成一个共轭类.(3)Abel群的各个元素自成一类.(4)一个共轭类K中含有哪些元素,由其中的一个元素a∈K(代表元)完全决定,Ka={gag−1|g∈G}.(1.2.9)(5)共轭类K满足∀g∈G,gKg−1=K.(1.2.10)(6)同一个