五年级行程问题笔记01五大模型之四-二次相遇问题

4、多次往返相遇问题中的二次相遇问题：比例法（1）利用“速度一定，路程比=时间比”的性质，辨明每次相遇间甲、乙单个路程，及甲乙相遇路程和的比例关系。时间段甲乙路程和甲、乙用时甲路程乙路程*也就是说每次相遇之间，路程和用时的比例关系是1：2：2：2…*或者说从开始出发到每次相遇，路程和用时的比例关系是1：3：5：7…从两端出发到第1次相遇即为总路程S=m+nTmn从第1次相遇到第2次相遇2倍总路程：2S2T2m2n从第2次相遇到第3次相遇2倍总路程：2S2T2m2n…………………………时间段甲乙路程和甲、乙用时甲路程乙路程从两端出发到第1次相遇S=m+nTmn从两端出发到第2次相遇3S3T3m3n从两端出发到第3次相遇5S5T5m5n从两端出发到第4次相遇7S7T7m7n…………………………小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地。设开始时他们分别从两地相向而行，若在距离甲地3千米处他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距离乙地2千米处，则甲、乙两地的距离为多少千米？对甲而言：第一次走了3千米，到第二次之间应该走3倍9千米，此时甲走了1个全程多2千米，所以全程7千米小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地。设开始时他们分别从两地相向而行，若在距离甲地3千米处他们第一次相遇，第二次相遇的地点在距离甲地5千米处，则甲、乙两地的距离为多少千米？对甲而言：第一次走了3千米，到第二次之间应该走3倍9千米，此时甲走的路程+5000米恰为2个全程，所以全程（9+5）÷2=7千米（2）对甲、乙及甲乙总和三者之间比例来说,每次相遇中三者所用时间是一样的，可以利用“时间一定，路程比=速度比”的性质，按速度比将路程分为几份解题甲、乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断的往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第3次与第4次相遇点恰好为100千米，那么AB两地之间的距离是多少千米？时间一定，速度比=路程比∴甲行程：乙行程=15：35=3：7根据速度比m:n,设路程为m+n份，共10份，乙多走4份第3次相遇甲5x3=15份÷10=1...5（乙5x7=35份÷10=3...5），相遇点在中间（离两端各5份）；第4次相遇甲7x3=21份÷10=2...1（乙7x7=49份÷10=4...9），相遇点离A1份、离B9份第3次与第4次相遇点恰好为100千米，为5-1=4份∴全程10份250千米甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间不断往返行驶。甲、乙两车的速度比为3：7，并且甲、乙两车第1996次相遇的地点和1997次相遇的地点恰好相距120千米（这里指面对面的相遇），那么A、B两地之间的距离是多少千米？根据速度比m:n,设路程为3+7份=10份，第1996次相遇甲（1996x2+1）x3÷10=...9，相遇点离A9份第1997次相遇甲（1997x2+1）x3÷10=...5相遇点离A5份2次与第4次相遇点恰好为120千米，为9-5=4份∴全程300千米（3）有时，也可利用“路程一定，时间比=1/速度比”的性质，按时间分为几份车在南北走向的公路上行驶，由南向北顶风而行每小时50千米，由北向南顺风而行，每小时70千米。两辆汽车同时从同一地点出发相背而行，一辆汽车往北驶去然后返回，另一辆汽车往南驶去然后返回，结果4小时后两车同时回到出发点。如果调头时间不计，在这4小时内两车行驶的方向相同的时间有？小时。先逆风的车去的时候走了X个小时，则50X=70(4-X),解得X=7/3，回来就是5/3小时。∴2/3小时问题条件比例法问路程给路程找到相同速度下的：路程比=时间比给速度+路程找到相同时间下的：路程比=速度比问时间给速度+时间找到相同路程下的：时间比=1/速度比（4）其他类似问题的推广：思路是从路程和或者某一个人在不同时间段的关系找到对应的时间关系，再找到单个人或另外一个人两个时间段的路程关系。（路程关系~~~时间关系~~~~路程关系）①往返行程中的拉开问题：于一头同时出发同向行一列客车和货车从甲同时同向出发开往乙地，货车速度是80千米/时，经过1小时两车在丙地相遇，两车到达了两端后都立即返回，第二次相遇的地点也在丙地。求客车的速度。相遇甲乙共跑比例甲跑了第1次2个全程180x1=80千米第2次4个全程22个全程-80千米=2个全程=240米；第1次乙跑了2个全程-80=160千米/1小时②环型行程的多次相遇：要点第一是：两人同地背向运动，从第一次相遇到下一次相遇共性一个全程；第二是：同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行1全程。甲乙二人以匀速绕圆形跑道相向跑步，出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，在乙跑一圈还差80米时两人第二次相遇，求跑道的长度？相遇甲乙共跑比例乙跑了甲跑了第1次0.5圈160米第2次1.5圈31圈-80米0.5圈-+80=0.5圈=100米=1圈=200米③多次追及自行车队出发12分钟后，通信员骑摩托车去追他们，在距出发点9千米处追上了自行车队，然后通信员立即返回出发点；随后又返回去追自行车队，再追上时恰好离出发点18千米，求自行车队和摩托车的速度第一次追上与第二次追上间摩、自所走的路程得出：摩是自速的（18+9）÷（18-9）=3倍；第一次摩追自，自队已出发了12分钟，则第一次追及时间等于12÷（3-1）=6（分钟）；摩速9÷6=1.5（千米/分钟）；自速1.5÷3=0.5（千米/分钟）④多次相遇+追及A、B两地间有条公路，甲从A地出发，步行到B地，乙骑摩托车从B地出发，不停地往返于A、B两地之间，他们同时出发，80分钟后两人第一次相遇，100分钟后乙第一次追上甲，问：当甲到达B地时，乙追上甲几次？在第一次相遇与第一次追上之间，乙用100-80=20（分钟）；走了FA+AE；而甲在（80+100）分钟所走的路程也是FA+AE；因此，乙速度是甲的9倍（=180÷20），则BF的长为AF的9倍，所以，甲从A到B，共需走80×（1+9）=800（分钟）。乙第一次追上甲时，所用的时间为100分钟，且与甲的路程差为一个AB全程.从第一次追上甲时开始，乙每次追上甲的路程差就是两个AB全程，因此，追及时间也变为200分钟（=100×2），所以，在甲从A到B的800分