机械振动学(第二章)-二自由度振动系统

引领专业投资一、概论二、单自由度系统的振动三、二自由度系统的振动四、多自由度系统的振动五、MATLAB在汽车振动分析中的应用六、汽车振动试验及测试课程内容装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture三、二自由度系统的振动装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3.1二自由度自由振动二自由度系统属于简单的多自由度系统，而多自由度系统不同于单自由度系统的振动问题，不再是单自由度系统的简谐振动了，而是多种频率的简谐波组成的复合运动。这些频率是系统的固有频率，一般系统有几个自由度，就有几个系统固有频率。当系统按照其中某一固有频率作自由振动时，称为主振动，主振动是一种谐振动。几个自由度系统在任意初始条件下的响应，应是几个主振动的叠加。系统做主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即称为系统的主振型。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture研究二自由振动系统的振动问题时，要解决如下一些问题：①实际结构简化成二自由度系统模型；②系统振动微分方程的建立；③求解振动微分方程的方法；④振动响应特性的分析装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3.1.1二自由度振动微分方程机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后，要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture系统中质量m1和m2只限于在水平光滑平面上作往复直线运动。m1和m2在任一瞬时位置只要用x1和x2两个独立坐标就可以确定，因此，系统具有两个自由度。根据牛顿第二定律有：)()()()()()(22321223212221221212212111tfxkkxkxccxcxmtfxkxkkxcxccxm23212232122222)()()(xkkxkxccxctfFxm归并整理得22121221211111)()()(xkxkkxcxcctfFxm（3-1）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture由式（3-1）可以看出，第一个方程中不仅有x1及其导数，也有x2及其导数，第二个方程也是如此。这种现象即为“耦合”现象。当位移项x1与x2耦合时，称为“弹性力耦合”；当加速项与耦合时，称为“惯性力耦合”。1x2x将上述微分方程组表示成矩阵形式，则有)()(002121322221213222212121tftfxxkkkkkkxxccccccxxmm式中，为质量矩阵，用M表示；为阻尼矩阵，用C表示；为刚度矩阵，用K表示。2100mm322221cccccc322221kkkkkk（3-2）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture21xx21xx21xx)()(21tftf为加速度向量；为速度向量；为位移向量；为激振力向量根据以上，式（2-2）可写为以下更为一般的简化形式，即:)(tFKXXCXM多自由度振动系统的微分方程就具有这样的形式，如上述各矩阵能直接写出，则建立方程就方便多了。在上述各矩阵中，质量矩阵为对角形，所有惯性力不耦合；刚度矩阵为对称形，两个方程都有x1与x2项，所以，弹性力是耦合的。（3-3）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3.1.2二自由度无阻尼自由振动1、自由振动微分方程根据式（3-1），可得无阻尼二自由度自由振动微分方程为：0)(0)(23212222212111xkkxkxmxkxkkxm即：0)(0)(2232122221211211xmkkxmkxxmkxmkkx（3-4）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture令:121)(mkka12mkb22mkc232)(mkkd则上式可简化为00212211dxcxxbxaxx（3-5）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture2、固有频率从单自由度系统振动理论得知，系统的无阻尼自由振动是简谐振动。故在振动时，两个质量按同样的频率和相位角作简谐振动，则方程组（3-1）的特解为：)sin()sin(2211tAxtAxnn式中，A1、A2、Wn和初相位角都有待确定。把式（3-6）分别求一阶、二阶导数代入（3-5），消去公因子，经整理，可得到振幅A1与A2的线性齐次代数方程组为（3-6）0)(0)(221212AdcAbAAann（3-7）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture显然，A1=A2=0是上述方程组的解，但这只代表系统的平衡情况。对于A1与A2具有非零解的情况，方程组式（3-7）的系数行列式必须等于零，即022nndcba将上式展开得：0)()(24bcaddann（3-8）上式是关于的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，它的两个特征根为2nbcdadan22,12)2(2（3-9）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正，和为实数；而且由于adbc，式（3-9）中的根号项小与前面的项，所以和为方程的两个正实根。和只与振动系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为主频率。较低的，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的称为第二阶固有频率。12n1n2n22n1n2n理论证明，n个自由度系统的频率方程是的n次代数方程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频率的个数与系统的自由度数相等。1n2n装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture3、主振型将以上解的固有频率和分别代入（3-7），可以得到对应于固有频率和的两振幅A1与A2之间的两个确定的比值，这两个比值称为振幅比，用和表示，即：1n2n1n12222212222212111211nnnndcbaAAdcbaAA式中，A11与A21为对应于基频情况下，质量m1、m2的振幅；A12与A22为对应于第二阶固有频率情况下，质量m1和m2的振幅。（3-10）1n1n2n装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振动系统本身的物理性质。由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：)sin()sin(2211tAxtAxnn121212)sin()sin(AAtAtAxxnn这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture可见，振幅比确定了系统的振动形态，因此，称其为主振型。主振型和固有频率一样，只决定于系统本身的物理性质，而与初始条件无关。主振型与固有频率密切相关，系统有几个固有频率，就有几个主振型。多自由度系统具有多个固有频率和相应的主振型。与基频对应的振幅比，称为第一阶主振型；与第二阶固有频率对应的振幅比，称为第二阶主振型。12n1n2将固有频率和代入（3-10），可得1n2n0)2(210)2(212221bcdadabbcdadab装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture由上式可知：1），表示两质量的振幅A1与A2的符号相同，即m1和m2总是按同一方向运动，它们同时经过平衡位置，又同时达到最大偏离位置。2），表示两质量的振幅A1与A2的符号相反，即m1和m2总是按相反方向运动，当m1达到最右位置时，m2达到最左位置。0102a)表示振动系统模型；b)纵坐标表示各点的振幅比，可作出相应的振型图。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture由b)可知，在第二主振型中，在联系质量m1和m2之间的弹簧k2上有这样一点，它在整个振动过程中的任一瞬间始终保持不动，这样的点称为“节点”。在二自由度系统的第二阶主振型中存在着一个节点，而在第一阶主振型中却不存在节点。振动理论证明，多自由度系统主振型的阶数越高，节点数越高，第i阶主振型一般有（i-1）个节点。由于振动系统在节点处不动，因而振幅受节点的限制就不易增大。节点数越多，其相应的振幅越难增大。相反，低阶的主振型由于节点数少，因而，低阶振动容易激励起。所以，在多自由度系统中低频主振动比高频主振动更危险。装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture4、主振动当系统以某一阶固有频率按其相应的主振型进行振动时，即为系统的主振动。振动系统按第一阶固有频率：作自由振动，称为第一阶主振动，可表示为1n111112121111111)sin()sin(xtAxtAxnn振动系统按第二阶固有频率：作自由振动，称为第二阶主振动，可表示为2n122222222221212)sin()sin(xtAxtAxnn可知，主振动是一种有确定频率和振型的简谐振动。（3-11）（3-12）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture两阶主振动是微分方程组的两组特解，系统并非在任何情况下都可能做主振动。一般情况下，二自由度振动系统的自由振动，是两种不同频率的主振动的叠加，因此，系统的特解可表示为：2221212111xxxxxx将（3-11）和（3-12）代入上式，可得系统通解为)sin()sin()sin()sin(22122111112221211111tAtAxtAtAxnnnn可见系统不一定作简谐振动，只有在特殊情况下，系统才有可能按某一固有频率进行主振动。当系统受到干扰时所表现的自由振动究竟是何种振动，还要取决于初始条件。（3-13）装备制造学院CollegeofEquipmentManufacture对于1个二自由度系统，有4个初始条件，即两质量m1和m2在时间t=0时的位移和速度：101xx202xx101xx202xx将上述4个初始条件代入（3-13），可得到4个系数，分别为：2010120101222010220102112220101220101121221201022201022111)(arctan)(arctan)()(1)()(1xxxxxxxxxxxxAxxxxAnnnn（3-14）装备