福建省漳州市实验中学高考动车组5-函数的知识

福建省漳州市实验中学高考动车组5函数的知识函数的单调性(1)设2121,,xxbaxx那么1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0xxfxfxbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函数;如果函数)(ufy和)(xgu在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([xgfy是增函数.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;在对称区间上，奇函数的单调性相同，偶函数相反；，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数，如果一个奇函数的定义域包括0，则必有f(0)=0;若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf,此时)(xfy的对称轴是ax.对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.若)()(axfxf,则函数)(xfy的图象关于点)0,2(a对称;若)()(axfxf,则函数)(xfy为周期为a2的周期函数.多项式函数110()nnnnPxaxaxa的奇偶性多项式函数()Px是奇函数()Px的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()Px是偶函数()Px的奇次项(即偶数项)的系数全为零.函数()yfx的图象的对称性(1)函数()yfx的图象关于直线xa对称()()faxfax(2)()faxfx.(2)函数()yfx的图象关于直线2abxm对称()()famxfbmx()()fabmxfmx.两个函数图象的对称性(1)函数()yfx与函数()yfx的图象关于直线0x(即y轴)对称.(2)函数)(amxf与函数()yfbmx的图象关于直线2abxm对称.(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x对称.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.几个常见的函数方程(1)正比例函数()fxcx,()()(),(1)fxyfxfyfc.(2)指数函数()xfxa,()()(),(1)0fxyfxfyfa.(3)对数函数()logafxx,()()(),()1(0,1)fxyfxfyfaaa.(4)幂函数()fxx,'()()(),(1)fxyfxfyf.(5)余弦函数()cosfxx,正弦函数()singxx，()()()()()fxyfxfygxgy，几个函数方程的周期(约定a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期T=a；（2）)()(xfaxf，或)0)(()(1)(xfxfaxf，或1()()fxafx(()0)fx,则)(xf的周期T=2a指数式与对数式的互化式logbaNbaN(0,1,0)aaN.对数的换底公式logloglogmamNNa.推论loglogmnaanbbm.对数的四则运算法则若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnMnR.设函数)0)((log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.例1、“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）解：选（B），在（B）中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短。［点评］函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视。例2、设11xfxx，又记11,,1,2,,kkfxfxfxffxk则2008fx（）A．11xx；B．11xx；C．x；D．1x；解:本题考查周期函数的运算。ABCD1121111,11fxfxfxxfx，323423111,111ffxfxfxxfxf，据此，414211,1nnxfxfxxx，4341,1nnxfxfxxx，因2008为4n型，故选C.［点评］本题考查复合函数的求法，以及是函数周期性，观察问题的能力，通过观察，关于总结、归纳，要有从特殊到一般的思想。例3、函数3()sin1()fxxxxR，若()2fa,则()fa的值为（）A.3B.0C.-1D.-2解：3()1sinfxxx为奇函数，又()2fa()11fa故()11fa即()0fa.［点评］本题考查函数的奇偶性，考查学生观察问题的能力，通过观察能够发现如何通过变换式子与学过的知识相联系，使问题迎刃而解。例4。如图，已知椭圆122mymx=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±ca2,即x=±m.∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)考虑方程组11122mymxxy,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC=122mm.又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上∴|AB|=|xB－xA|2=(xB－xA)·2,|CD|=2(xD－xC)∴||AB|－|CD||=2|xB－xA+xD－xC|=2|(xB+xC)－(xA+xD)|又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0∴||AB|－|CD||=|xB+xC|·2=|mm212|·2=1222mm(2≤m≤5)故f(m)=1222mm，m∈［2,5］.(2)由f(m)=1222mm，可知f(m)=m1222又2－21≤2－m1≤2－51∴f(m)∈［324,9210］故f(m)的最大值为324，此时m=2;f(m)的最小值为9210，此时m=5.强化训练1．对函数baxxxf23)(作代换x=g(t)，则总不改变f(x)值域的代换是()A．ttg21log)(B．ttg)21()(C．g(t)=(t－1)2D．g(t)=cost2．已知命题p：函数)2(log25.0axxy的值域为R，命题q：函数xay)25(是减函数。若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是()A．a≤1B．a2C．1a2D．a≤1或a≥23.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+∞)4.如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对于任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么（）A.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)5.已知函数y＝f(x)有反函数，则方程f(x)＝a(a是常数)()A.有且仅有一个实根B.至多一个实根C.至少一个实根D.不同于以上结论7．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若f(k·3x)+f(3x-9x-2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．8．设函数f(x)=lg(ax2+2x+1)．(1)若f(x)的定义域是R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域是R，求实数a的取值范围．9．设不等式2x－1m(x2－1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。参考答案1．不改变f(x)值域，即不能缩小原函数定义域。选项B，C，D均缩小了()fx的定义域，故选A。2．命题p为真时，即真数部分能够取到大于零的所有实数，故二次函数22xxa的判别式440a，从而1a；命题q为真时，5212aa。若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题。若p为真，q为假时，无解；若p为假，q为真时，结果为1a2，故选C.3．图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C；4．函数f(x)的对称轴为2，结合其单调性，选A；6．从反面考虑，注意应用特例，选B；7．分析：欲证f(x)为奇函数即要证对任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即f(0)=0．令y=-x，代入①式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．f(k·3x)＜-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k·3x＜-3x+9x+2，32x-(1+k)·3x+2＞0对任意x∈R成立．令t=3x＞0，问题等价于t2-(1+k)t+2＞0对任意t＞0恒成立．R恒成立．8．分析:这是有关函数定义域、值域的问题，题目是逆向给出的，解好本题要运用复合函数，把f(x)分解为u=ax2+2x+1和y=lgu并结合其图象性质求解．切实数x恒成立．a=0或a＜0不合题意，解得a＞1．当a＜0时不合题意；a=0时，u=2x+1，u能取遍一切正实数；a＞0时，其判别式Δ=22-4×a×1≥0，解得0＜a≤1．所以当0≤a≤1时f(x)的值域是R．9．分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论。然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x2－1)m－(2x－1)0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，则问题转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件ff()()20