离散数学代数结构_作业部分答案

第四章代数结构（作业）作业：P86：4、7、94、（1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有：(x*y)*z=(x+y+xy)*z=(x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx*(y*z)=x*(y+z+yz)=x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz)=x+y+z+yz+xy+xz+xyz=(x*y)*z因此，*运算满足结合律。（3）假设e为（Z,*）的幺元，则有：任选整数集中的一个元素x，都有0*x=0+x+0×x=x且x*0=x+0+x×0=x故0是(Z,*)的幺元。7、N+上的所有元素都是（N+,*）等幂元；（N+,*）无幺元；（N+,*）的零元为1。9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；（A,*）中的幺元：b；（A,*）中的零元：c；a-1=d，b-1=b，c-1不存在，d-1=a，作业：P87：12、13、1812、（A，*）到（N4,4）的同构映射f为：f(a)=0,f(b)=1,f(c)=2,f(d)=3;或者：f(a)=0,f(b)=3,f(c)=2,f(d)=1;13、同构映射f为：f(0)=,f(1)={a},f(2)={b},f(3)={a,b};或者：f(0)=,f(1)={b},f(2)={a},f(3)={a,b};18、任选aN+,bN+,只需证明f(a+b)=f(a)+f(b)由f的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f是（N+,+）到(E+,+)的同态映射。作业：P96：3，P97：73、(1)显然，*运算对Z是封闭的。(2)(a*b)*c=(3(a+b+2)+ab)*c=3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c=3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc=3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abca*(b*c)=a*(3(b+c+2)+bc)=3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc)=3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc=3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc=(a*b)*c故*运算满足结合律。（3）任选aZ，(-2)*a=a且a*(-2)=a，所以-2是(Z,*)的幺元。所以（Z,*）是独异点。7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A的子集A’,*在A’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A’,*)，其中A’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为：({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*)P105：3、4、133、1100ba×2200ba＝212100bbaa,a1,a2{1,-1},所以a1×a2{1,-1}，b1×b2{1,-1}。故（G,×）是封闭的。而(1100ba×2200ba)×3300ba=212100bbaa×3300ba=32132100bbbaaa1100ba×(2200ba×3300ba)=1100ba×323200bbaa=32132100bbbaaa故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）令e=1001，a=1001，b=1001，c=1001×eabceeabcaaecbbbceaccbaee=1001是幺元。任选xG，x×x=e，故x-1=x。(G,×)与群(N4,4)不同构，因为(G,×)中每个元素以自身为逆元，而(N4,4)并非如此。4、（1）封闭性任选a,bZ,，显然，a+b-2Z,故运算*满足封闭性。（2）结合律任选a,b,cZ（a*b）*c=a+b+c-2-2=a+b+c-4a*(b*c)=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4，故（a*b）*c=a*(b*c),即*运算满足结合律。（3）证明存在幺元任选aZ,2*a=2+a-2=a且a*2=a+2-2=a，故2幺元。（4）证明每个元素可逆任选aZ，则4-aa；而且a*(4-a)=2,（4－a）*a=2，故(4-a)是a的逆元。13、任选a,bG,(a*b)*(b*a)=a*(b*b)*a=a*e*a=a*a=e=(a*b)*(a*b)。故上等式两边同时左乘a-1*b-1,故a*b=b*a。所以(G,*)是可交换群。P112：3、12、143、N12＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}1的阶数为12；2的阶数为6；3的阶数为4；4的阶数为3；5的阶数为12；6的阶数为2；显然(N12,12)是循环群，由循环群性质：一个n阶循环群若存在k阶子群，则仅有一个k阶子群，因此(N12,12)的所有2阶子群：({6,62},12)=({0,6},12);(N12,12)的所有3阶子群：({4,42,43},12)=({0,4,8},12);(N12,12)的所有4阶子群：({3,32,33,34},12)=({0,3,6,9},12);(N12,12)的所有6阶子群：({2,22,23,24,25,26},12)=({0,2,4,6,8,10},12)12、证明；若b,cS，则对G中任意元素x，由于(G,*)是群，因此*运算满足结合律,即(b*c)*a=b*(c*a)又由条件b*a=a*b，可知：b*(c*a)=b*(a*c)=(b*a)*c=(a*b)*c=a*(b*c)进而，(b*c)*a=a*(b*c)；故b*cS，故运算*对S封闭，由于c*a=a*c,且*运算在G,*中满足消去律，故：c-1*(c*a)*c-1=c-1*(a*c)*c-1;根据结合律，可知：(c-1*c)*(a*c-1)=(c-1*a)*(c*c-1);即a*c-1=c-1*a。故c-1S。即S中每个元素都有逆元。故(S,*)是(G,*)的子群。14、证明：设e为(G,*)的幺元。任选a,bA，则e=a*a-1故eA，即(A,*)中有幺元e。而e*b-1=b-1A,故A中每个元素都有逆元。进而，a*(b-1)-1=a*bA，故运算*对A封闭。故(A,*)是(G,*)的子群。P118：作业：6、76、(N7－{0},7)同构于(N6,6)。3为(N7－{0},7)的生成元。小于6的自然数中，只有5与6互质，故35=5也是(N7－{0},7)的生成元。即(N7－{0},7)的所有生成元为：3和5。7、显然，1的阶数为7，故1为（N7,7）的生成元。小于7的自然数中，共有1，2，3，4，5，6这七个数与7互质，因此11=1，12=2，13=3，14=4，15＝5，16＝6是（N7,7）的所有生成元。P125：作业：4、64、本题等价于求4次对称群中所有阶数为2的元素。112342134f212342143f312343214f412343412f512344231f612344321f712341324f812341432f912341243f，4321432110f6、设S3＝{f1,f2,f3,f4,f5,f6}1123123f2123132f3123213f4123231f5123312f6123321f令（注意：定义ai的时，ai的前三列与fi的三列完全相同）112312443a212313442a312321443a412323441a512331442a612332441a令A={a1,a2,a3,a4,a5,a6}如下定义双射函数g：A－S3；g(fi)=ai；i=1,2,3,4,5,6可以验证fi*fjS3，都有：g(fi*fj)=g(fi)*g(fj)，其中*为置换的复合运算。（注意：因为ai的前三列与fi的三列完全相同，这样定义就可以保证g(fi*fj)=g(fi)*g(fj)一定成立）故(A,*)为与(S3,*)同构的4次置换群。