离散数学期末试卷半成品版(带部分答案)

-第1页北京工业大学经管学院期末试卷《离散数学》（A）学号姓名：成绩一、单项选择题（每题2分，共18分）1．令P：今天下雪了，Q：路滑，则命题“虽然今天下雪了，但是路不．滑”可符号化为（D）A．P→QB．P∨QC．P∧QD．P∧Qp→q，蕴涵式，表示假设、条件、“如果，就”。“→”与此题无关2.关于命题变元P和Q的极大项M1表示(C)。书P15-P19，此题换作p、q更容易理解A.┐P∧QB.┐P∨Qp∨┐q----01----1-----M1C.P∨┐QD.P∧┐Q3.设R（x）：x是实数；S（x,y）：x小于y。用谓词表达下述命题：不存在最小的实数。其中错误的表达式是：（D）4.在论域D={a,b}中与公式（x）A（x）等价的不含存在量词的公式是（B）A.)b(A)a(AB.)b(A)a(AC.)b(A)a(AD.)a(A)b(A5．下列命题公式为重言式的是（C）A．Q→（P∧Q）B．P→（P∧Q）C．（P∧Q）→PD．（P∨Q）→Q牢记→真假条件，作为选择题可直接代入0、1，使选项出现1→0，排除。熟练的可直接看出C不存在1→0的情况6.设A=｛1，2，3｝，B=｛a,b｝，下列二元关系R为A到B的函数的是(A)A.R=｛1,a,2,a,3,a｝B.R=｛1,a,2,b｝C.R=｛1,a,1,b,2,a,3,a｝D.R=｛1,b,2,a,3,b,1,a｝-第2页7.偏序关系具有性质（D）背A.自反、对称、传递B.自反、反对称C.反自反、对称、传递D.自反、反对称、传递8.设R为实数集合，映射:,RR2()21,xxx则是(D).(A)单射而非满射(B)满射而非单射(C)双射(D)既不是单射也不是满射.书P96.设函数f：A→B（1）若ranf=B，则f是满射的【即值域为B的全集，在本题中为R，该二次函数有最高点，不满足】（2）若对于任何的x1,x2∈A,x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2)，则称f是单射的【即x,y真正一一对应，甚至不存在一个y对应多个x。显然，本题为二次函数，不满足】（3）若f既是满射的，又是单射的，则称f是双射的【本题中两个都不满足，既不是单射也不是满射】二、填空题（每空2分，共22分）１.设Q为有理数集，笛卡尔集S=Q×Q，*是S上的二元运算，a,b,x,y∈S,a,b*x,y=ax,y+b,则*运算的幺元是_____1,0_____。a,b∈S,若a≠0，则a,b的逆元是______1/a,-b______。书P123定义２.在个体域D中，公式)x(xG的真值为假当且仅当__某个G(x)的真值为假__，公式)x(xG的真值为假，当且仅当__所有G(x)的真值都为假__。３.给定个体域为整数域，若F（x）：表示x是偶数，G（x）：表示x是奇数；那么，)x(G)x()x(F)x(是一个永真式；而))x(G)x(F)(x(是一个永假式。４.设)R(r,c,b,b,aRA,c,b,aA则上的二元关系　{a,b,b,c,a,a,b,b,c,c,d,d}；s(R)={a,b,b,c,b,a,c,b}。书P89、P85.自反闭包：r(R)=RUR0={a,b,b,c}U{a,a,b,b,c,c,d,d}={a,b,b,c,a,a,b,b,c,c,d,d}对称闭包：s(R)=RUR-1={a,b,b,c}U{b,a,c,b}={a,b,b,c,b,a,c,b}-第3页传递闭包：t(R)=RUR2UR3U……５.设X={1,2,3},Y={a,b}，则从X到Y的不同的函数共有___8___个.书P96，B上A的概念：设Ａ、Ｂ为集合，所有从Ａ到Ｂ的函数构成集合ＢA，读作“B上A”如果|A|=m，|B|=n，m、n不全是0，则|BA|=nm即，若题中给出集合A有m个元素，B有n个元素，可直接用nm计算出A到B的函数个数。本题中为23=8６.设,,G是群a,bG，则（a-1）-1=a，（ab）-1=。书P84公式7.设X={1，2，3}，f：X→X，g：X→X，f={1,2,2,3,3,1},g={1,2,2,3,3,3}，则fg=__{1,3,2,3,3,2}___，gf=__{1,3,2,1,3,1}__。合成：FG={x,y|xGz∧zFy}三、计算题（每题9分，共36分）1.设集合A＝{1,2,3,4,5}，A上的关系R＝{1,1,1,2,2,2,3,2,3,3,3,5,4,4,5,5}(1)画出R的关系图；(2)问R具有关系的哪几种性质(自反、对称、传递、反对称).自反性、传递性书P87表格，根据关系图可直接判断性质……(3)给出R的传递闭包。R={1,1,1,2,2,2,3,2,3,3,3,5,4,4,5,5}R2=RR={1,1,1,2,2,2,3,2,3,3,3,5,4,4,5,5}R3=R2R={1,1,1,2,2,2,3,2,3,3,3,5,4,4,5,5}……所以，t(R)={1,1,1,2,2,2,3,2,3,3,3,5,4,4,5,5}-第4页2.集合S={a,b,c,d,e}上的二元运算*的运算表如下，求出它的幺元，零元，及逆元。*abcdeabacccbabcdeccccccdedcbaedecdb幺元：b零元：c逆元：a-1=a,b-1=b,c-1=c,d-1=d书P123定义3．求合式公式A=P→((P→Q)∧┐(┐Q∨┐P))的主析取范式及成真赋值。A=P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))=P→((┐P∨Q)∧(Q∧P))=P→((┐P∧Q∧P)∨(Q∧Q∧P))=P→(Q∧P)=┐P∨(Q∧P)=(┐P∧(Q∨┐Q))∨(Q∧P)=(┐P∧Q)∨(┐P∧┐Q)∨(P∧Q)=(┐P∧┐Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧Q)=m0∨m1∨m3成真赋值为00，01，114．求在1到1000000之间有多少个整数既不是完全立方数，也不是完全平方数？韦恩图完全平方数的个数：10002=1000000，所以有1000个（即1到1000）-第5页完全立方数的个数：1003=1000000，所以有100个（即1到100）既是完全平方数又是完全立方数的重复部分：106=1000000，所以有10个（即16到106）所以既不是完全立方数，也不是完全平方数的整数有：1000000-(1000+100-10)=998910四、证明题（每题8分，共24分）1．若公司拒绝增加工资，则罢工不会停止，除非罢工超过三个月且公司经理辞职。公司拒绝增加工资，罢工又刚刚开始。罢工是否能停止？（给出相应推理的证明过程）2．给出关系不满足对称性的条件并证明。3．如果关系R和S为X上的等价关系，证明：RS也是X上的等价关系。