离散数学答案第八章代数系统

第八章代数系统习题8.11．解⑴是，⑵不是，⑶是，⑷不是。2．解若﹡对是可分配的，则有任意a,b,c∈*I,均有a﹡(bc)=(a﹡b)(a﹡c)=abac=(abac)=ab+c而a﹡(bc)=a﹡(bc)=abc≠ab+c故﹡对是不可分配的。3．解⑴对于任意A∈P(S),因为AS，所以，AS=S，因此，S是关于运算的零元；⑵对于任意A∈P(S),因为AS，所以，AS=A，因此，S是关于运算的零元单。4．解⑴①因为x*y=xy-2x-2y+6，则y*x=yx-2y-2x+6=x*y，满足交换律；②任意x,y,z∈R有x*(y*z)=x*(yz-2y-2z+6)=x(yz-2y-2z+6)-2x-2(yz-2y-2z+6)+6=xyz-2xy-2xz+6x-2x-2yz+4y+4z-12+6=xyz-2xy-2xz-2yz+4x+4y+4z-6.(x*y)*z=(xy-2x-2y+6)*z=(xy-2x-2y+6)z-2(xy-2x-2y+6)-2z+6=xyz-2xz-2yz+6z-2xy+4x+4y-2z-6=x*(y*z).故满足结合律。(2)①设任意a∈R,存在e∈R,要e*a=ea-2e-2a+6=a，由于a的任意性则e=3。因此e=3是其单位元;②设任意b∈R,z∈R，要有z*b=zb-2z-2b+6=z，由于b的任意性则z=2，因此z=2是其零元。（3）因为*是满足交换律，对于x∈R，要存在1x∈R，须有x*1x=x1x-2x-21x+6=e=3,当x2时，2321xxx。即对于任意的x，当x2时x都是可逆的，且2321xxx。5．解f1,f2,f3都满足交换律，f4满足等幂率，f2有单位元a，f1有零元a，f3有零元b。习题8.21．解构成代数系统的运算有（2），（3），（4）。2．解444},3,2,1,0{,},2,0{,},0{1fbaaaaaba2fbabaabba3fbaabaaba4fbabababa表8-2习题8.31．证明作函数f:{a,b,c}→{,,}，f(a)=,f(b)=,f(c)=.显然此映射是双射。由表8-2可知对于任意的x,yA都有有f(xy)=f(x)ºf(y)，故A,*≌B,º。2．解代数系统,,RR与不可能同构。因为，由同构的性质，如果两个代数系统同构，则两个系统的单位元对应，零元对应，而这里，代数系统R,的零元是0，而R,+没有零元。故代数系统,,RR与不可能同构。复习题八1．解⑴有单位元e=1,0，因为，对于任意a,b∈S，均有bababa,01,1,0,1，且，babaaba,0,10,1,，故1,0单位元⑵对于a,b∈S，要a,b有逆元，需要有x,y∈S使得，a,bx,y=x,ya,b=1,0事实上，即1,0=a,bx,y=ax,ay+b，因此，ax=1，ay+b=0，当a0时可解得abyax,1，且又有0,1,,1baaba。故当a0时，形式的元素a,b都可逆，且ababa,1),(1。2．解因为a*b=b*aa=b，则任意a∈A，而*是可结合的，则有a*(a*a)=(a*a)*a，因此a*a=a，即*满足等幂律.3．证明假设f:Q→Q-{0}是从Q，+到Q-{0}，的同构，则两个系统的单位元对应，即有f(0)=1。因为f是从Q到Q-{0}的满射，所以，对于任意一个素数p∈Q-{0}必存在某个x∈Q，使得f(x)=p，又由于f是一个同构，因此有p=f(x)=f((x-1)+1)=f(x-1)f(1)，而在Q-{0}中有无穷多个素数，因此，总可以找到一个素数p，使得x-10，则f(x-1)不是1，这与p是素数矛盾。证毕。4．证明因为，aaa，)()()()(dbcadcba，所以，)()()()()(cabacbaacba。5．证明对n用数学归纳法。当n=1时，由幂的定义则(a*b)1=a*b=(a1)*(b1)，所以结论成立。假设n=k时结论成立，即(a*b)k=ak*bk，下面考察n=k+1时，(a*b)k+1=(a*b)k*(a*b)=(ak*bk)*(a*b)=(ak*a)*(bk*b)=ak+1*bk+1。abababb1b(a)表8-2ccc1bcccab(b)cabbbbbccccc即n=k+1时，结论也成立。由归纳法原理，对于任意的正整数n,都有(a*b)n=an*bn。6．证明任意n1,n2∈N，只有如下的三种情况：①n1,n2都能表示成2的幂的形式，②n1,n2都不能表示成2的幂的形式，③一个能表示成2的幂的形式，而另一个不能。下面就这三种情况分别考虑。①设存在k1,k2∈N，使得n1=2k1，n2=2k2，则n1×n2=2k1×2k2=2k1+k2∈N，且f(n1)=f(n2)=1，因此f(n1×n2)=f(2k1+k2)=1=f(n1)×f(n2)=f(2k1)×f(2k2);②n1,n2都不能表示成2的幂的形式，则n1×n2也不能表示成2的幂的形式，所以，f(n1)=f(n2)=0，因此f(n1×n2)=0=f(n1)×f(n2)。③不妨设存在k∈N，使得n1=2k，，而n2不能表示成2的幂的形式，则n1×n2也不能表示成2的幂的形式，所以，f(n1)=1，f(n2)=0，因此，f(n1×n2)=0=f(n1)×f(n2)。综上所述，代数结构,N与{0,1},同态。