积分变换试题_2009

1复变、场论与拉氏变换试卷2009注意:仅未学场论的同学做带*号的考题(即有关场论的考题换为带*号的题目).一、判断题（正确打√，错误打.每小题1分）1.若ivuzf)(在点000zxiy解析，则在点00(,)xy必有xyuyxu22.()2.3arg(34)Im()2iii（）3.设C为)(zf的解析域D内的一条简单正向闭曲线，则cdzzf0)(.（）4.若幂级数1)(nnniza在3z点收敛则它必在iz点收敛．（）5.若03)1()1()(nnnzzf成立，则10z必是)(zf的本性奇点．()6.1[()]Lts()二、填空题(每小题2分)1．复方程(1cos)(2sin),02ztitt所表示的曲线为________.A.直线；B.抛物线；C.双曲线；D.圆2．若1||1||ba或，则||1abab的值______.A.大于1；B.等于1；C.小于1；D.无穷大3．函数zw1将z平面上的曲线kxy映射到w平面上的曲线方程为________.4．若函数2cot()(1)zfzz，则1),(Rezfs=_______.5．设),,(zyxu为数量函数，),,(zyxA为矢量函数，则下列有意义的式子的序号为___________.①()rotdivA；②)(Arotrot；③()graddivA；④)(gradugrad；⑤()divdivA；⑥()divrotA25*..函数11)(zezf在iz30处所展泰勒级数的收敛半径为___________.6．函数223zxyzxu在点)0,1,1(P处沿方向_________的函数值减小最快，且沿该方向的方向导数值为_________.6*．3()()Ltut=_________________________.7．函数)4)(1(1)(zzzzzf在10z处可展罗朗级数的所有圆环域是_________8．广义积分0sin_______tdtt.9．2100[cos()sin]_________.ttLedttd10．设C为右半圆周||1zi上从原点到2i的圆弧，则积分2sinCzzdz=_______.三、计算题（第1，2，3题每小题6分，其余每小题10分）1．讨论函数)3()(33yyixzf的可导性，解析性，并写出可导点处的导数。2．设43225()zzzefdzz，2，求(25)fi，(1)f，).1(f3．设C为从01z到iz22的直线段,求Cdzz)Im(.4．:(1,2)(1)(2)zCedzCzrrzzz计算积分.5．将函数223()(1)fzzz分别在圆环域10z和z1内展成罗朗级数。6．问实数取何值时，sinxvey为调和函数，并求出解析函数()fzuiv关于z的表达式。四、应用题（每小题10分）1．利用Laplace变换求积分方程301443tyyydtt满足条件(0)0y的特解。2．设力场kyzxjzxixyzF2232332，(1)试证F为有势场，并求出F的所有3原函数),,(zyxu及势函数),,(zyxv；(2)求质点在力场内从A(1,4,1)移动到B(2,3,1)所作的功。2*．(1)利用留数计算积分dzzCtan，其中C为正向圆周4z.(2)设(,),(,)xyxy都是调和函数，而,yxxyst，试判定函数()fzsit的解析性。五、证明题(4分)设连续函数)(tf以T为周期，证明：01[()]()1TstsTLftftedte.