积分变换试题2008-2009-1(答案)

《积分变换》第1页共6页天津工业大学（2008—2009学年第一学期）《积分变换》试卷(2008.12理学院)特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有六道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。满分12303012124总分复核题目一二三四五六得分评阅人一.选择题(每小题3分)1.设)()(tutf，则F)]([tf=(A)A)()(1wwjBC0jwteD12.已知F[)(tf]=)(wF，则F)]([0tttf=(D)A)(wFjB)(00wFetjwtC))((00wFjtejwtD)()(000wFjewFetjwtjwt3.积分dtett03)(=(B)A0B1C101D3e4.设)()]([sFtf，则下列公式中，不正确的是(C)-------------------------------密封线----------------------------------------密封线----------------------------------------密封线---------------------------------------学院专业班学号姓名-------------------------------装订线----------------------------------------装订线-----------------------------------------装订线---------------------------------------满分12得分《积分变换》第2页共6页A)('tf-1)]0()([fssFBtdttf0)(-1])([ssFCtaetf)(-1)]([asFDnnttf)1()(-1)]([)(sFn二.填空题(每空3分)1.F-10ww=tjwe021，F)(0tuetj=001()()wwjww；2.F][cos2t=)())2()2((21，L)]([tu=s1;3.F[)(t]=1，L-1[31s]=22t,L-1[122ss]=ttsin2cos;4.设0,0,0)(tettft则)(*)(tftu0,00,1ttet;5.若其它,01,1)(ttf的Fourier积分表达式为d0cossin2，则积分d;6.设221)(sesFs，则)(tf=)2()2(tutt。三.计算下列各题(每小题6分)1.计算-1]1[ln22ss;满分30得分满分30得分《积分变换》第3页共6页解：-1]1[ln22ss=t1-1])1[(ln22ss。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2=t1-1])ln2)1[(ln(2ss=t1-1]212[2sss。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2=)1(2chtt。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。22．已知tetutftsin)()(，求F[)(tf]；解（一）：F[tetutsin)(]=dtettuejwtt)(sin。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3=0)1(sindttetjw。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1=01)1(]cossin)1([2)1(jwttjwetjw。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1=1)1(12jw。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1解（二）：F[tetu)(]=dtetuejwtt)(==0)1(dtetjw=jw11。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1F[tsin]=)]1()1([wwj。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1F[tetutsin)(]=F[tetu)(]F[tsin]。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2=jw11)]1()1([wwj=jw11)1(wj-jw11)1(wj。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1=)1(1)1(1wjjwjj=1)1(12jw。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1《积分变换》第4页共6页3.已知dtttetftt022sin)(，求L)]([tf;L)]([tf=L]2sin[02dtttett=s1L]2sin[2ttet……………………….1=-s1L]2sin[2tet…………………………………………2=-s14)2(22s……………………………………….2=22]4)2[()2(4sss………………………………………….14.已知sssF2)1(1)(，求)(sF的拉氏逆变换。解法一：因为11s是)(sF的二级极点，20s是)(sF的单极点：………1所以：)(tf=202211(1)(1)((1))limststssesessss………………………….4=1tttee…………………………………………………………...1解法二：因为：sssF2)1(1)(=21111(1)sss………………………….3所以：)(tf=1tttee…………………………………………………..3解法三：因为：sssF2)1(1)(=211.(1)ss……………………………..............1所以：)(tf=1tte…………………………………………………………2=0ted=1tttee…………………………………………35.求tdttt0]sin[;解：tdttt0]sin[=1ssin[]tt……………………………………2《积分变换》第5页共6页=1s211sdss…………………………………………………….2=1sarctanss………………………………………………………1=1s（arctan2s）=1sarccots…………………………………1四.按要求计算(每小题6分)1.求微分方程,2tteyyy满足1)0(y和2)0(y的解;解：设L[()]yt=()Ys，对方程两端同时取拉氏变换有：221(()2)2(()1)()(1)sYsssYsYss…………………………..2221(21)()(1)ssYsss所以：42421111()(1)(1)(1)1(1)sYssssss……………………..2从而：31()3!tttytteete=31(1)6tett…………………………………...22.求ttdyttcos)()cos(0的解解：原方程为：cos()costfttt………………………………………………….1设L[()]yt=()Ys，两边同时取拉氏变换由卷积定理可得：22221.()1(1)ssYsss..............................................…...3所以：222121()(1)1ssYsssss…………………………..1满分12得分《积分变换》第6页共6页即：()2cos1ytt…………………..…………………..1五.应用题(每小题6分)1.求下图所示函数)(tfT的Laplace变换。2.求函数0,0,0)(tettft的频谱函数及其频谱。解：频谱函数为：()()jwtFwftedt…………………………………………….2=0tjwteedt=()0jwtedt…………………………...1=()0jwtejw……………………………………………….1=221jwjww…………………………………………..1频谱为：222222()wjwF…………………………………………1六.证明：)(*)()()(2122112211tttftttfttfttf，其中，)(tf的定义域为整个实数轴。证明：1122()()fttftt=L-11212[().()]jwtjwtFweFwe……………………….1=L-112()12[()()]jwttFwFwe……………………………1=112212()*()ftttfttt…………………………2满分12得分满分4得分