数列放缩与不等式

1数列不等式证明初探数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列na的前n项的和nS，满足12nnaS，试求：（1）数列na的通项公式；（2）设11nnnaab，数列nb的前n项的和为nB，求证：21nB解：（1）由已知得2)1(4nnaS，2n时，211)1(4nnaS，作差得：1212224nnnnnaaaaa，所以0)2)((11nnnnaaaa，又因为na为正数数列，所以21nnaa，即na是公差为2的等差数列，由1211aS，得11a，所以12nan（2）)121121(21)12)(12(111nnnnaabnnn，所以21)12(2121)1211215131311(21nnnBn注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}na满足条件nfaann1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS,且22nnnaaS.(1)求证：2214nnnaaS；(2)求证：112122nnnSSSSS解：（1）在条件中，令1n，得1112122aSaa，1011aa，又由条件2nnnSaa22有11212nnnSaa，上述两式相减，注意到nnnSSa11得0)1)((11nnnnaaaa001nnnaaa∴11nnaa所以，nnan)1(11，(1)2nnnS所以42)1(212)1(21222nnnaannnnS（2）因为1)1(nnnn，所以212)1(2nnnn，所以2)1(23222121nnSSSn212322n2122312nSnn222)1(2222121nnSnnnSSS2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设2,,*aNna,证明：nnnaaaa)1()(2；（2）等比数列na中，112a，前n项的和为nA，且897,,AAA成等差数列．设nnnaab12，数列nb前n项的和为nB,证明：31nB解：（1）当n为奇数时，aan,于是，nnnnnaaaaaa)1()1()(2．当n为偶数时，11a，且2aan，于是nnnnnnnaaaaaaaaaaa)1()1)(1()1()1()(22（2）∵9789AAaa，899AAa，899aaa，∴公比9812aqa．∴nna)21(．nnnnnnb231)2(41)21(141．所以3nnbbbB2131)211(31211)211(213123123123122nn．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}na满足：11a，)3,2,1()21(1nanannn．求证：11213nnnnaa证明：因为nnnana)21(1，所以1na与na同号，又因为011a，所以0na，即021nnnnanaa，即nnaa1．所以数列{}na为递增数列，所以11aan，即nnnnnnanaa221，累加得：121212221nnnaa．令12212221nnnS，所以nnnS2122212132，两式相减得：nnnnS212121212121132，所以1212nnnS，所以1213nnna，故得11213nnnnaa．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列321)1()1(nnn的逆序数为na，如排列21的逆序数11a，排列321的逆序数63a．（1）求54,aa，并写出na的表达式；（2）令nnnnnaaaab11，证明32221nbbbnn，,2,1n解（1）由已知得15,1054aa，2)1(12)1(nnnnan.（2）因为,2,1,22222211nnnnnnnnnaaaabnnnnn，4所以nbbbn221.又因为,2,1,222222nnnnnnnbn，所以)]211()4121()3111[(2221nnnbbbn=32221232nnnn.综上，,2,1,32221nnbbbnn.注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112kkkkkkkkkk（2）．)2)(111(212112)111(2kkkkkkkkkk在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论2232nn、22)1(nn为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论31)211(31n为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论1213nn为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论221232nnn为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．虽然证明与数列和有关的不等式问题是高中数学中比较困难的问题，但是我们通过仔细分析它的条件与要证明的结论之间的内在关系，先确定能不能直接求和，若不能直接求和则要考虑把通项朝什么方向进行放缩．如果我们平时能多观测要证明结论的特征与数列求和之间的关系，则仍然容易找到解决这类问题的突破口．高考题展示：例1（2006年全国卷I）设数列na的前n项的和14122333nnnSa，1,2,3,n（Ⅰ）求首项1a与通项na；（Ⅱ）设2nnnTS，1,2,3,n，证明：132niiT5解：易求42nnna（其中n为正整数）1114124122242221213333333nnnnnnnnSa112323112221212121nnnnnnnnTS所以：1113113221212niniT例2（2006年福建卷）已知数列na满足*111,21().nnaaanN（I）求数列na的通项公式；（II）证明：*122311...().232nnaaannnNaaa解：（I）易求2*21().nanN（II）证明：1121211,1,2,...,,12122(2)2kkkkkkakna12231....2nnaaanaaa111211111111.,1,2,...,,2122(21)23.222232kkkkkkkkakna1222311111111...(...)(1),2322223223nnnnaaannnaaa*122311...().232nnaaannnNaaa点评：两个高考题向我们说明了数列求和中不等关系证明的两种方法：1.每一项转化为两项差，求和后消去中间项（裂项法）与放缩法的结合；2.用放缩法转化为等比数列求和。例3已知数列na中21nan，证明：2222111151233nSn放缩一：21111(1)1nnnnn(2)n222222222111111111111111()()1231234556671nSnnn＝131211131212389240051111.3640036400360036003n点评：此种放缩为常规法，学生很容易想到，但需要保留前5项，从第6项开始放大，才能达到证题目的，这一点学生往往又想不到，或因意志力不坚强而放弃。需要保留前5项，说明放大的程度过大，能不能作一下调节？放缩二：622111111(),(2)1(1)(1)211nnnnnnn222222111111111111111()()1231222435211nSnnnnn51111151115()().4223142233nn点评：此种方法放大幅度较（一）小，更接近于原式，只需保留前2项，从第3项开始放大，能较容易想到，还能再进一步逼近原式？放缩三：221111111()2(),(1)111112121()()42222nnnnnnnnn2222111111111111512()12()123355721213213nSnnnn本题点评：随着放缩程度的不同，前面需保留不动的项数也随着发生变化，放缩程度越小，精确度越高，保留不动的项数就越少，运算越简单，因此，用放缩法解题时，放缩后的式子要尽可能地接近原式，减小放缩度，以避免运算上的麻烦。例4.已知数列na中221nnna，求证：1(1)3.niiiaa方法一：111212211(1).2121(21)(22)(21)(21)2121iiiiiiiiiiiiiaa1(1)niiiaa1121223121111111()()()33.(21)21212121212121nnn方法二：2121111(1).(2)111(21)22222222222iiiiiiiiiiaai2111111111(1)22(1)33.22222niinnniaa点评：方法一用的是放缩法后用裂项法求和；方法二是通过放缩转化为等比数列求和，从数值上看方法二较方法一最后结果的精确度高111(33)212nn，但都没超过要证明的结果3。7例5.设数列}{na满足。，且.....)3,2,1(1211naaaannn证明对于一切正整数n，均有123nan。（证明。略）例6.已知函数)0()(22aaxxxf（1）求)(xf的反函数)(1xf及其定义域；（2）数列na满足)(3111nnafaaa设aaaabnnn，数列}{nb的前n项和为Sn，试比较nS与87的大小，并证明你的结论。解（1）给22axxy两边平方，整理得yayx222∵yayyayyxy222222=02))((yayay∴0yaay或故xaxxf2)(221，其定域为),[)0,[aa（2）∵nnnnaaaafa2)(2211∴22111)(