空间几何教案

1高中数学立体几何基础知识一、三视图1、一个空间几何体的三视图包括:主视图、左视图、俯视图.三视图的位置关系为：俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方．三视图之间的投影规律为：主、俯视图———长对正；主、左视图———高平齐；俯、左视图———宽相等．2、直观图画法斜二测画法的规则：（1）在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz90°，且yOz90°．（2）画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于O，并使xOy45°，xOz90°。（3）已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴和z轴的线段．（4）已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中长度相等；平行于y轴的线段，长度取一半．二、多面体与旋转体1、空间几何体的结构特征（1）棱柱、棱锥、棱台和多面体棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形.③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方．棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥．多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体．（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形；③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小为一点时，可以得到圆锥．2、旋转体的面积和体积公式2ab名称圆柱圆锥圆台球S侧2πrlπrlπ(r1+r2)lS全2πr(l+r)πr(l+r)π(r1+r2)l+π(r21+r22)4πR2Vπr2h31πr2h31πh(r21+r1r2+r22)34πR3表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。三、八大定理1、线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：,,////ababa．2、线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：//,,//aabab．3、面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。推理模式：//////baAbaba4、面面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；推理模式：////aa（2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。推理模式：baab////5、直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。3推理模式：lbaAbablal6、直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。推理模式：baba//7、两平面垂直的判定定理：（线面垂直面面垂直）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。推理模式：aa8、两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。推理模式：alaal四、空间问题的证明方法1、平行关系证明（1）线线平行（2）线面平行（3）面面平行bababa//////0ananan的法向量先求面////nmnmmn的法向量再求面的法向量先求面2、垂直关系证明（1）线线垂直（2）线面垂直（3）面面垂直4bababa0ananan//的法向量先求面nmnmmn0的法向量再求面的法向量先求面说明：证线面垂直也可用判定定理.五、空间向量与立体几何.空间向量的坐标：空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a=(a1,a2,a3),),,(321bbbb，则),,(332211babababa，))(,,(321Raaaa，332211babababa，a∥)(,,332211Rbababab332211bababa。0332211babababa。222321aaaaaa(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)（一）空间角的求解方法1、线线成角222222212121212121,coszyxzyxzzyyxxbababa2、线面成角（1）求面的法向量n；（2）求出nAB,cos；（3）设直线AB和平面所成的角，则sinnAB,cos，从而求得线面成角.也即直线AB和平面所成的角等于nAB,23、面面成角5（1）分别求出面和面的法向量n、m；（2）求出mn,cos；并得出角mn,；（3）设平面和平面所成的角，则利用法向量求二面角的平面角定理：设n、m分别是二面角l中平面,的法向量，则n与m所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（n、m方向相同，则为补角，n、m反方，则为其夹角）.二面角l的平面角cos||||mnarcmn或cos||||mnarcmn（m，n为平面，的法向量）.（二）空间距离的求解方法1、点到点的距离222ABzyx2、点到面的距离（1）求向量AB的坐标；（2）求面的法向量n；（3）求出向量AB在法向量n上的投影ABnAB,cos（4）点A到面的距离：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中A，则点B到平面的距离为||||ABndn.3、求线到面的距离和面到面的距离，转化为求点到面的距离.4、异面直线间的距离||||CDndn(12,ll是两异面直线，其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,ll间的距离).六、练习1．（1）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是．_B_1_A_1_B1_A1_B_1_A_1_B1_A1正视图俯视图6（2）如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱1111AAABC面,正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的左视图面积为．（3）如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为说明：考查认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征。能画出长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别三视图所表示的立体模型。并能进行相关的面积体积计算。2．（1）若一个球的体积为34，则它的表面积为________________．（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是．（3）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是．（4）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2．（5）如图所示，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF//AB，EF＝32，EF与面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为_________．（6）在△ABC中，AB＝2，BC＝1．5，∠ABC＝120°，若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．说明：考查柱、锥、台、球和简单组合体的表面积和体积。要求掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的计算，会拆分几何体。3．（1）已知两条直线,mn，两个平面,，给出下面四个命题：①//,mnmn，CC1BEADCF7ABCDEF②//,,//mnmn，③//,////mnmn，④//,//,mnmn．其中正确命题的序号是------------（2）若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γα⊥β；②α⊥γ，β∥γα⊥β；③l∥α，l⊥βα⊥β．其中正确的命题有．（3）给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.其中真命题的是．说明：考查空间线面位置关系的判断和性质．要求能够根据图形想象空间两条直线、直线与平面的位置关系，能够正确进行文字语言、符号语言、图形语言之间的转化．4．（1）一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是____．（2）三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC＝1，∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝30°，M和N分别是棱SB和SC上的点，则△AMN周长的最小值为_______．说明：空间几何体的展开图的处理方法．5.在四面体ABCD中，CB=CD，ADBD，且E，F分别是AB，BD的中点，求证（I）直线//EFD面AC；（II）EFCD面面BC6.如图，在直三棱柱111ABCABC中，E,F分别是11AB,AC的中点，点D在11BC上，11ADBC8俯视图左视图主视图aaaDCBAOA1DCBA求证：（1）EF∥ABC平面（2）111AFDBBCC平面平面三、提高练习1、已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于．2、四棱锥PABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图：则四棱锥PABCD的表面积为．3、如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到1A点，且1A在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：1BCAD；（2）求证：平面1ABC平面1ABD；（3）求三棱锥1ABCD的体积．ABCA1B1C1EFD94、如图所示，在长方体，ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AD＝2AA1＝2，E是AB的中点，F是A1C的中点（1）求证：EF∥平面AA1D1D（2）求证：EF⊥平面A1CD（3）求三棱锥B－A1DF的体积.D1C1B1A1FEDCBA