空间的平行关系教案

一、教学内容：空间平行关系的判定与性质，包括：1、线线平行；2、线面平行；3、面面平行。二、学习目标1、掌握空间平行关系的判定与性质定理并会应用；2、通过对定理的学习，培养和发展空间想象能力、推理论证能力和运用图形进行交流的能力；3、通过操作确认、直观感知，培养几何直观能力；4、通过典型例子的分析和探索活动，理解数学概念和结论，体会蕴含其中的思想方法。三、知识要点（一）直线与直线平行的判定方法1、利用定义：在同一个平面内，不相交的两条直线互相平行；2、利用平行公理：空间中平行于同一条直线的两条直线互相平行；3、利用直线与平面平行的性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；4、利用平面和平面平行的性质定理：两个平面互相平行，和第三个平面相交，它们的交线互相平行；5、利用直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行；6、利用直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。（二）直线与平面平行的判定方法1、利用定义：直线与平面无公共点，则该直线和该平面平行；2、利用直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则该直线和该平面平行（线线平行，则线面平行）。3、利用平面和平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线都平行于第二个平面。（三）平面和平面平行的判定方法1、利用定义：两个平面没有公共点，则这两个平面平行；2、利用平面与平面平行的判定定理：一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内两条相交直线平行，则这两个平面平行；3、利用平面与平面平行的判定：一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行；4、利用平面与平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行．5、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；（四）直线与平面平行的性质1、性质定理：直线和平面平行，经过该直线的平面与已知平面相交，则该直线和交线平行；2、直线和平面平行的性质：一直线和两相交平面平行，则该直线和这两个平面的交线平行。（五）平面与平面平行的性质1、平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。2、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，则一个平面内任意一条直线均平行于第二个平面。3、平面与平面平行的性质：两个平面互相平行，那么夹在这两个平面之间的平行线段相等。4、平面与平面平行的性质：平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面。四、考点与典型例题考点一判定直线与直线平行例1、已知平面α∩β=m，直线a//α，a//β，求证：a//m。证明：过a作一平面与α交于直线b，由线面平行的性质可知：a//b；过a作另一平面与β交于直线c，则：a//c。由平行公理可知：b//c，故b//β.由线面平行的性质可知：b//m.由平行公理，a//m。【说明】判定空间关系的主要思路有三种，一是利用判定定理和相关结论，二是反证法（常利用定义），三是同一法，并且凡是用反证法可以证明的都可以用同一法证明。而且一般地，每个这样的题目都可以同时使用这三种方法.同一法的主要过程是：欲证某几何图形M具备某性质，可以先作一个图形M′具备这种性质，然后证明所作图形M′与待证图形M是同一个图形，因M′具备这种性质，故M也具备该性质。如本题可用同一法证明如下：证明：在m上取一点A，过a、A作一平面分别交α、β于e、f，则e//a，f//a，即过直线外一点有两条直线与之平行，因此e、f重合，记为l；又e在α上，f在β上，且e、f重合于l，故l是α、β的交线，故l与m重合。因l//a，故m//a。考点二判定直线与平面平行例2、平面α外的两条直线a//b，且a//α，求证：b//α.证明：因a//α，过a作一平面与α交于直线m，则由直线与平面平行的性质可知：a//m.又因a//b，a//m，故b//m，由线面平行的判定定理可知：b//α.考点三：线面平行的性质例3、如图，ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP//GH.证明：连接AC交BD于O，连接MO.因为ABCD是平行四边形，故O是AC中点.又M是PC中点，故AP//OM.又AP在平面BDM外，OM在平面BDM上，故AP//平面BDM.因为平面PAGH∩平面BDM=GH，根据线面平行的性质定理，得PA//GH.考点四平面与平面平行的判定例4、如图，三棱柱ABC－A′B′C′，D是BC上一点，且A′B//平面AC′D，D′是B′C′的中点，求证：平面A′BD′//平面AC′D.证明：连接A′C交AC′于点E，则E是A′C中点．连接ED，因为A′B//平面AC′D，平面A′BC∩平面AC′D＝ED，所以A′B∥ED，因为E是A′C中点，所以D是BC中点．又D′是B′C′中点，所以BD′∥C′D，A′D′∥AD．又A′D′∩BD′＝D′，所以平面A′BD′∥平面AC′D．考点五平面与平面平行的性质例5、已知平面α//γ，γ//β，求证：α//β.证明：作两个相交平面分别交α、β、γ于a、b、c和a′、b′、c′.因为α//γ，故a//c，a′//c′.因为γ//β，故b//c，b′//c′.从而a//b，a′//b′，即平面α、β内分别有两条相交直线平行，故α//β.五、本讲的主要数学思想方法1、同一法则与同一法：同一法则指的是条件与结论所描述的对象都是唯一的，则原命题和其逆命题中只要有一个成立，则另一个一定成立（从而其否命题和逆否命题也成立），这个法则称为同一法则。一般地，判断一个命题是否符合同一法则是很困难的，因此在几何证明中使用的同一法是先作出一个图形符合待证图形所满足的性质，然后证明该图形与待证图形是同一个图形（重合）；因为所作图形具有该性质，故待证图形也具有该性质。从而达到间接证明原命题的目的。2、凡是能用反证法的题目，必可用同一法证明。因为同一法与反证法都证明了符合某性质的图形有两个，同一法由此说明这两个图形重合；而反证法则由唯一性说明存在矛盾。三种数学语言即符号语言、图形语言和文字语言的准确互译是研究空间关系的关键，同学们一定要能够从图形语言中获得足够多的解题信息，然后用符号和图形语言进行准确表达。这是顺利完成本讲学习目标的前提条件之一。因此，要求同学们要注意培养一定的空间观念和空间想象能力，这也是中学生应该具备的数学能力之一。【模拟试题】一、选择题1、关于直线a、b、l及平面M、N，下列命题中正确的是（）A、若a∥M，b∥M，则a∥bB、若a∥M，b⊥a，则b⊥MC、若aM，bM，且l⊥a，l⊥b，则l⊥MD、若a⊥M，a∥N，则M⊥N2、已知直线平面内直线b与c相距6cm且a//b，a与b相距5cm，则a、c相距（）A、5cmB、或5cmC、D、或5cm3、已知直线、和平面，那么从出发一定可以推出的一个结论是（）A、B、C、D、a、b与成等角4、已知、表示平面，、表示直线，则使得成立的一个条件是（）A、B、C、a∥b，且b∥D、5、空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长是（）A、20B、10C、8D、46、（2008安徽卷）．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题中正确的是（）A、B、C、D、7、下列说法中，正确的个数有（）个a)两条平行线中有一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；b)平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；c)过平面外一点只有一条直线平行于该平面；d)若一条直线和一个平面平行，则该直线和这个平面内所有直线都平行。A、0B、1C、2D、3二、填空题8、如图在正四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，E、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是棱CC′、C′D′、D′D、DC的中点，Ｎ是BC的中点，点Ｍ在四边形EＦＧＨ及其内部运动，则Ｍ满足条件__________________时，有ＭＮ//平面B′BDD′。9、对于平面α，β，给出条件存在平面γ，使得α，β都平行于γ；平面α、β上分别存在直线lm，使得l//m；存在异面直线lm，使得l//α，l//β，m//α，m//β.其中可以判定α//β的条件是。三、解答题10、（2008年浙江卷）如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=，AD=，EF=2。（Ⅰ）求证：AE//平面DCF；（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为？11、如图，在矩形中，，分别为线段的中点，⊥平面.求证：∥平面。12、P是所在平面外一点，分别是的重心，（1）求证：平面；（2）求13、如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．求证：（1）线段MP和NQ相交且互相平分；（2）AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．【试题答案】一、DBDDADA二、8、M∈FH；9、①③；三、10、（Ⅰ）证明：过点作交于，连结，可得四边形为矩形，又为矩形，所以，从而四边形为平行四边形，故．因为平面，平面，所以平面．（Ⅱ）解：略。11、证明：在矩形ABCD中，∵AP＝PB，DQ＝QC，∴APCQ.∴AQCP为平行四边形.∴CP∥AQ.∵CP平面CEP，AQ平面CEP，∴AQ∥平面CEP.12、证明：分别连PA′，PB′，PC′并延长，分别交BC，AC，AB于D，E，F则D，E，F分别是BC，CA，AB的中点.A′C′∥FD同理A′B′∥DE，平面（2）A′B′∥DE，，又DE=AB，易证A′B′C′∽∴S△A′B′C′：S△ABC=1：913、证明：（1）∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．（2）由（1）得，AC∥MN．记平面MNP（即平面MNPQ）为α．显然ACα．否则，若ACα，由A∈α，M∈α，得B∈α；由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，与已知中四边形ABCD是空间四边形矛盾．又∵MNα，∴AC∥α，又ACα，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．同理可证BD∥平面MNP．