空间向量知识点(投影)

1yxaOZ空间向量知识要点已知向量a，向量b，单位向量e（1）cos,ababab其中cos,ab表示向量a，b夹角。（2）cos,aeaae（3）0abab（4）2aaa,（5）ababab（6）abba（交换律）（7）abcabab（分配律）注意：不满足结合律上述运算法则依然适用于空间向量空间向量的坐标表示及运算法则（坐标表示的前提是向量的起点为原点）如右图，空间直角坐标系中，有123aaiajak，其中i、j、k分别为x、y、z的单位向量，则记为123,,aaaa，这就是a的坐标表示。运算法则：设123,,aaaa，123,,bbbb则①112233,,abababab2②112233,,abababab③123,,aaaa④112233abababab⑤//ab11ab且22ab且33ab⑥ab1122330ababab⑦222123aaaa，232221bbbb⑧112233222223123123cos,ababababaaabbb已知点111,,Axyz与点222,,Bxyz则有⑨212121,,ABxxyyzz⑩222212121ABxxyyzz相关应用一、证明方面：已知、为两个不同平面，1n，2n分别它们的法向量，l是一条直线，l的方向向量为a，则有：1、//l等价于l，且1an,2、l等价于1//an33、//等价于12//nn,4、等价于12nn其中平行可以通过共线进行判断，垂直可以通过数量积进行判断。二、计算方面：1、平面的法向量的求法：设,,nxyz，利用n与平面内的两个不共线向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。2、线面角的求法：设n是平面的法向量，AB是直线l的方向向量，则直线l与平面所成的角为arcsinABnABn3、二面角的求法：①AB、CD分别是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是,ABCD。②设1n，2n是二面角l,abnnbanlABnDCABl4的两个面、的法向量，则121212,arccosnnnnnn就是二面角的平面角或其补角。4、异面直线间的距离的求法：1l、2l是两条异面直线，n是1l、2l的共垂线段AB的方向向量，又C、D分别是1l、2l上的任意两点，则CDnABn5、点面距离的求法：设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为ABnn6、线面距离、面面距离均可转化为点面距离再用5中的方法解决。nAB2n1n1l2lABCnD5上述方法适用范围：1、易于建立空间直角坐标系（即可以找出三条两两垂直的直线）2、易于求出各点的坐标（即由已知长度或假设可以求出各点的坐标）