立体几何第二讲面面关系

1立体几何第二课一、知识点1.面面平行与垂直的判定、性质定理(1两平面平行的判定定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β.定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(2平面平行的性质定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。(3两平面垂直的判定定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°α⊥β.定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.(4两平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。二、例题1.如图，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心。（1）求证：平面MNG∥平面ACD；求S△MNG：S△ADC2.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.证明：平面PBE⊥平面PAB;3、如图所示，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：MN⊥CD；（3）若∠PDA=4，求证：MN⊥平面PCD。CDABMNGPHFBPDACNMEABDC1B1A1CD1PMNABOEFDCM24、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：（1）AP⊥MN；（2）平面MNP∥平面A1BD。5、在四面体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，且E,F分别是AB,BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥面ACD；（Ⅱ）面EFC⊥面BCD．6、如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。（Ⅰ）求证AM∥平面BDE；（Ⅱ）求证AM⊥平面BDF；三、练习1、如图，已知空间四边形ABCD中，,BCACADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。2、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．3、如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.（1）求证：1//AC平面BDE；（2）求证：平面1AAC平面BDE.AEDBCA1AB1BC1CD1DGEF34、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．4答案例题1证明：连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD于P、F、H，∵M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心，则有2BMBNBGMPNFGH连结PF、FH、PH，有MN∥PF，又PF平面ACD，MN平面ACD，∴MN∥平面ACD，同理，MG∥平面ACD，又MGMN=M,∴平面MNG∥平面ACD解：由（1）可知23MGBGPHBH，∴MG=23PH.又PH=12AD,∴MG=13AD.同理，NG=13AC,MN=13CD.∴△MNG∽△ACD,其相似比为1︰3.∴S△MNG：S△ADC=1︰9.例题2证明：如图所示，连结BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，△BCD是等边三角形。因为E是CD的中点，所以BE⊥CD，又AB∥CD，所以BE⊥AB。又因为PA⊥平面ABCD，例题3证明：（1）作PD的中点E，连结EN、AE∵N、E分别为PC、PD的中点，∴NE//12CD∵CD//AB，∴NE//12AB即NE//AM∴四边形AMNE为平行四边形∴MN//AE∵AE平面PAD，MN平面PAD，∴MN∥平面PAD（2）∵PA⊥平面ABCD，AD是PD在平面ABCD内的射影，CD⊥AD∴CD⊥PD∵AD∩PD=D∴CD⊥平面PAD∴CD⊥AE∵MN∥AE∴MN⊥CD（3）∵∠PAD=2，∠PDA=4∴PA=AD∵PE=DE∴AE⊥PD∵MN∥AE，∴MN⊥PD∵MN⊥CDPD∩CD=D∴MN⊥平面PCD例题4证明：（1）∵PD1⊥平面ADD1A1D，A为PA在平面内的射影∴AP⊥AD1又∵AD1∥B1CB1C∥NM，∴AD1∥NM∴AP⊥MN（2）∵PN∥B1D1B1D1∥BD∴PN∥BD由（1）AD1∥NM且MN∩PN=N，AD1∩BD=D∴平面MNP∥平面A1BD例题5证明（Ⅰ）∵E,F分别是AB,BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD．（Ⅱ）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.∵CB=CD,F是BD的中点，∴CF⊥BD.又EFCF=F，∴BD⊥面EFC．∵BD面BCD，∴面EFC⊥面BCD．例题6解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，∴AM∥OE。∵OE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE。(Ⅱ)连结MO∵AB=2，AF=1∴AO=BO=12BD=1，即四边形AFMO是正方形∴AM⊥OF而OM⊥平面ABCD，OA⊥BD∴AM⊥BD∵BD∩OF=O∴AM⊥平面BDF练习1证明：（1）BCACCEABAEBE同理，ADBDDEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDE（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC练习25证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．练习3证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE（2）∵1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC，BD平面BDE，平面BDE平面1AAC练习4证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=22a，AO2=AC2－OC2=a2－21a2=21a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．