第10章质点动力学的基本方程

1动力学引言动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。动力学中所研究的力学模型是质点和质点系(包括刚体)。质点:具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距离保持不变，也称不变的质点系。牛顿在力学上最重要的贡献，也是牛顿对整个自然科学的最重要贡献是他的巨著《自然哲学之数学原理》。这本书出版于1687年，书中提出了万有引力理论并且系统总结了前人对动力学的研究成果，后人将这本书所总结的经典力学系统称为牛顿力学。2第十章质点动力学的基本方程§10-1动力学基本定律一、质点、质点系、刚体质点：且有一定质量，忽略几何形状和尺寸大小的物体质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统刚体：不变形的特殊质点系，其中任意两个质点间的距离保持不变二、动力学基本定律（1）第一定律（惯性定律）不受力作用的质点，将保持静止或作交速直线运动。这种性质称为惯性。（2）第二定律（力与加速度之间的关系的定律）质点因受力作用而产生加速度。牛顿第二定律：maF式中，质点的质量为m，所受合力为F，其加速度为a。Fdtmvd)(质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。（3）第三定律（作用与反作用定律）两个物体间的作用力与肥作用力总是大小相等，方向相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。（4）第四定律（力的独立作用定律）若质点同时受到几个力作用，则其加速度等于各力分别作用于该质点时所产生的各加速度的矢量和。3必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。§10-2质点的运动微分方程一、矢量形式的质点运动微分方程二、质点运动微分方程在直角坐标轴上投影三、质点运动微分方程在自然轴上投影强调：动力学基本定律仅在惯性参考系中成立，因此，公式中的速度、加速度指的是绝对速度和绝对加速度。§10-3质点动力学的两类基本问题第一类基本问题：已知质点的运动，求作用在质点上的力。这类问题其实质可归结为数学上的求导问题。第一类问题求解步骤：1)取研究对象，并把它当成质点。2)分析质点在任一瞬时的受力，画出受力图。3)分析质点运动，求质点的加速度。221ddniimmtraF222222111ddd,dddnnnxiyiziiiixyzmFmFmFttt2tnb111d,,0dnnniiiiiivvmFmFFt44)选适当的投影轴，列出质点的运动微分方程。5)求出未知力。第二类基本问题：已知作用在质点上的力，求质点的运动。这类问题其实质可归结为数学上的解微分方程或求积分问题。注意：在解第二类问题时，必须正确分析质点受力情况和运动情况的基础上，列出质点运动微分方程。1.力是常数或是时间的简单函数2.力是位置的简单函数,利用循环求导变换3.力是速度的简单函数，分离变量积分00d()dvtvmvFtt00ddddd()dddddvxvxvvxvvmvvFxxtxtx00dd()vtvmvtFv5例1质点的质量m=0.1kg，按2346012tttx的规律作直线运动，x以米（m）计，时间t以秒（s）计，试求该质点所受的力，并求其极值。解：当质点的作直线运动时其运动微分方程为nixiFdtxdm122则作用在该质点上的力为)tt(mdtxdmF1207212222)tt(.F1207212102（1）对式（1）求导0722410)t(.F得时间为s3t（2）将式（2）代入式（1）得作用在该质点上的最小力为N21.F例2质点的质量m，在力ktFFo的作用下，沿x轴作直线运动，式中oF、k为常数，当运动开始时即0t，oxx，ovv，试求质点的运动规律。解：根据题意，采用直角坐标形式的质点运动微分方程。即FFdtxdmnixi122（1）则有ktFdtxdmo22采用分离变量法积分，得2021kttFdt)ktF(mvtoo再积分，得质点的运动方程为3202612121kttFdt)kttF(mxtoo即)ktF(mtx312026例3圆锥摆如图所示，质量为m=0.1kg的小球系于长为l=0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O上，并与铅垂线成o60角，若小球在水平面内做匀速圆周运动，试求小球的速度和绳子的拉力。解：以小球为质点，小球的受重力gm及绳子的拉力F及运动如图所示，采用自然法求解。其运动微分方程为n===111ibibnininniiFmaFmaFam法向运动微分方程为sinFρvm=2（1）次法向运动微分方程为mgcosFmab-=（2）由于次法向加速度0ba，则由式（2）绳子得拉力为N961608910.cos..cosmgFo因圆的半径sinlρ，将上面绳子的拉力代入式（1）得小球的速度为m/s12106030961222..sin..msinFlv7例4一电机车重P=980kN，由静止开始沿水平直线轨道作匀加速运动，经过路程s=50m后，速度达到v=36km/h。若行车阻力是车重的0.01倍，试求电机车总的牵引力。（12分）解：由asvv2202得2/1sma则kNNmaF1001101003故F牵=0.01P+F=9.8kN+100kN=109.8kN